Ache os extremos e os pontos de sela.
f(x, y)=x^4+y^3+32 x-9 y

Passo 1

O enunciado pede para achar extremos e pontos de sela da função f(x, y) = x^4 + y^3 + 32x - 9y. Estamos no contexto de otimização de funções de duas variáveis, então vamos usar derivadas parciais para encontrar pontos críticos e, em seguida, o critério da Hessiana para classificar cada ponto.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: fx = 4x^3 + 32 e fy = 3y^2 - 9. Igualando a zero, temos 4x^3 + 32 = 0 Rightarrow x^3 = -8 Rightarrow x = -2 e 3y^2 - 9 = 0 Rightarrow y^2 = 3 Rightarrow y = pm raiz3. Logo os pontos críticos são (-2, raiz3) e (-2, -raiz3).

Passo 3

Para classificar, achamos as segundas derivadas: fxx = 12x^2, fyy = 6y e fxy = 0. O discriminante da Hessiana é D = fxx fyy - fxy^2 = 72x^2y. Avaliando em (-2, raiz3) D>0 e fxx>0, configurando um mínimo local. Em (-2, -raiz3) temos D<0, ou seja, ponto de sela.

Passo 4

Opcionalmente, podemos calcular os valores de f nesses pontos: f(-2, raiz3) = -48 - 6raiz3 e f(-2, -raiz3) = -48 + 6raiz3.

Resposta

Mínimo local em (-2, √3) com f = -48 - 6√3; ponto de sela em (-2, -√3).

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