Determine uma equação da reta r, e faça um esboço no plano cartesiano, com a propriedade dada em cada caso abaixo: r passa pelo ponto (-1,3) e é perpendicular à reta de equação 2 y+3 x=1.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a equação de uma reta r que passa pelo ponto (-1,3) e é perpendicular à reta dada de equação 2y+3x=1. O conteúdo envolve equações de retas no plano cartesiano, coeficiente angular e condição de perpendicularidade.

Passo 2

Reescrevendo a reta dada 2y+3x=1 na forma explícita y=mx+b:
2y = -3x + 1 y = -32x + 12
Logo, o coeficiente angular da reta dada é m1 = -tfrac32.

Passo 3

Como a reta r deve ser perpendicular, seu coeficiente angular m2 satisfaz m1 cdot m2 = -1. Portanto:
m2 = -1m1 = -1-tfrac32 = 23

Passo 4

Usando a forma ponto-inclinação para a reta r, com ponto (x0,y0)=(-1,3) e coeficiente angular m2=tfrac23:
y - y0 = m2(x - x0)
Substituindo:
y - 3 = 23(x + 1)

Passo 5

Agora simplificamos para obter a equação em forma padrão. Primeiro expandindo:
y - 3 = 23x + 23
Somando 3 em ambos os lados:
y = 23x + 23 + 3 = 23x + 113
Multiplicando tudo por 3 para ficar em forma geral:
3y = 2x + 11 2x - 3y + 11 = 0

Passo 6

Para esboçar, marcamos o ponto (-1,3) no plano e traçamos uma reta com inclinação positiva tfrac23, subindo 2 unidades para cada 3 unidades à direita.

Resposta

2x - 3y + 11 = 0

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