Ache f^prime(1) sabendo que f(x)=x^ln h(x), x>0, e que h(1)=e.

Passo 1

O enunciado pede f'(1) para a função
f(x)=x^ln h(x), x>0,
sabendo que h(1)=e.
Aqui vamos usar derivação de exponencial com base e expoente variáveis, reescrevendo em forma de exp(cdot) e aplicando regra do produto e cadeia.

Passo 2

Reescrevendo em forma exponencial:
f(x)=expl(ln(h(x))cdotln(x)r)
Derivando, por regra da cadeia e do produto,
f'(x)=f(x),ddxl[ln(h(x))ln(x)r] =f(x)l(ln(h(x))1x+ln(x)h'(x)h(x)r)

Passo 3

Avaliaremos em x=1. Como ln(1)=0 e h(1)=e, temos
f(1)=1^ln(e)=1,
e
f'(1)=1l(ln(e)cdot1+0r)=1

Resposta

f'(1)=1

Exercícios relacionados