7 Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas y=x^3-x e y=-x^2+5 x.

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas y = x^3 - x e y = -x^2 + 5x. Vamos usar a ideia de área entre curvas: para isso precisamos (1) achar os pontos de interseção, (2) determinar qual função fica por cima em cada intervalo, e (3) integrar a diferença entre a função superior e a inferior.

Passo 2

Igualamos as duas expressões para encontrar os pontos onde elas se cruzam:
x^3 - x = -x^2 + 5x
Rearranjando, obtemos
x^3 + x^2 - 6x = 0
e fatorando:
x(x^2 + x - 6) = x(x+3)(x-2) = 0
Logo os pontos de interseção em x são x = -3, x = 0 e x = 2.

Passo 3

Para decidir qual curva está acima em cada intervalo, escolhemos um ponto teste:
  • Em x=-1 (no intervalo -3,0):
    ,f(-1)=(-1)^3-(-1)=0 e g(-1)=-(-1)^2+5(-1)=-6.
    Logo f(x)=x^3-x está acima de g(x)=-x^2+5x em [-3,0].
  • Em x=1 (no intervalo 0,2):
    ,f(1)=0 e g(1)=4.
    Portanto g(x) fica acima de f(x) em [0,2].

Passo 4

A área total é a soma de duas integrais, subtraindo sempre a inferior da superior:
A = integral-3^0l[f(x)-g(x)r],dx ;+;integral0^2l[g(x)-f(x)r],dx,
onde
f(x)-g(x) = l(x^3 - xr) - l(-x^2 + 5xr) = x^3 + x^2 - 6x

Passo 5

Calculamos uma primitiva de x^3 + x^2 - 6x. Uma escolha conveniente é
F(x) = x^44 + x^33 - 3x^2,
pois então F'(x) = x^3 + x^2 - 6x.

Passo 6

Agora avaliamos cada integral:
integral-3^0l(f-gr),dx = F(0) - F(-3) = 0 - l((-3)^44 + (-3)^33 - 3cdot(-3)^2r) = 0 - l(814 - 9 - 27r) = 634
Em seguida,
integral0^2l(g-fr),dx = -integral0^2l(f-gr),dx = -l(F(2) - F(0)r) = -l(164 + 83 - 12r) = 163

Passo 7

Somando as duas áreas:
A = 634 + 163 = 189 + 6412 = 25312

Resposta

A = 25312

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