7 Calcule a área da região do plano limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
e
. Vamos usar a ideia de área entre curvas: para isso precisamos (1) achar os pontos de interseção, (2) determinar qual função fica por cima em cada intervalo, e (3) integrar a diferença entre a função superior e a inferior.
Passo 2
Igualamos as duas expressões para encontrar os pontos onde elas se cruzam:
Rearranjando, obtemos
e fatorando:
Logo os pontos de interseção em
são
,
e
.
Passo 3
Para decidir qual curva está acima em cada intervalo, escolhemos um ponto teste:
- Em
(no intervalo ):
e .
Logoestá acima de em . - Em
(no intervalo ):
e .
Portantofica acima de em .
Passo 4
A área total é a soma de duas integrais, subtraindo sempre a inferior da superior:
onde
Passo 5
Calculamos uma primitiva de
. Uma escolha conveniente é
pois então
.
Passo 6
Agora avaliamos cada integral:
Em seguida,
Passo 7
Somando as duas áreas: