Questão 2. (2 pontos) Considere a EDO
onde
é um número real positivo.
a) Determine para que valores de
a EDO possui dois pontos de equilibrio
. Esboce o gráfico das soluções e analise sua estabilidade.
b) Mostre que se
a solução atinge o valor 0 num tempo finito, porém se
a solução tende a
quando
cresce.
c) Determine para que valores de
a EDO possui um único ponto de equilibrio, esboce o gráfico das soluções e analise sua estabilidade.
d) Para que valores de
todas as soluções são decrescentes?
a) Determine para que valores de
b) Mostre que se
c) Determine para que valores de
d) Para que valores de
Passo 1
O enunciado trata da EDO autônoma
onde
. Vamos estudar existência de equilíbrios, estabilidade e comportamento das soluções em função de
.
Passo 2
Para achar os pontos de equilíbrio resolvemos
O discriminante é
Se
então
e há duas raízes reais
Para classificar a estabilidade note que
Logo
Passo 3
Suponha
. Nesse intervalo
e
, logo
isto é,
decresce. O tempo
para atingir
vem de
Como o integrando é finito em
,
.
Se então
,
e
Se
ou seja,
cresce e tende assintoticamente a
(o tempo até chegar exatamente em
é infinito, pois o denominador do integral diverge perto de
).
Passo 4
Para
o discriminante é zero e existe um único equilíbrio duplo
Nesse caso
para todo
. Assim toda solução é decrescente ou estacionária. Se
ela decresce e tende a
em tempo infinito; se
ela decresce para
. O ponto é semiestável (estável por cima, instável por baixo).
Passo 5
Para que todas as soluções sejam decrescentes precisamos
para todo
, isto é
o que exige discriminante
. Logo
Resposta
a) Se
há dois equilíbrios
b) Se
a solução decresce e atinge
em tempo finito; se
ela cresce e tende a
quando
.
c) Se há um único equilíbrio
(duplo, semiestável); as soluções são todas decrescentes.
d) Para tem-se
em todo o eixo e, portanto, todas as soluções são decrescentes.
c) Se
d) Para