Questão 2. (2 pontos) Considere a EDO
y^prime=-(y^2-8 y+d)
onde d>0 é um número real positivo.
a) Determine para que valores de d a EDO possui dois pontos de equilibrio y1, y2. Esboce o gráfico das soluções e analise sua estabilidade.
b) Mostre que se 0<y(0)<y1<y2 a solução atinge o valor 0 num tempo finito, porém se y(0)>y1 a solução tende a y2 quando t cresce.
c) Determine para que valores de d a EDO possui um único ponto de equilibrio, esboce o gráfico das soluções e analise sua estabilidade.
d) Para que valores de d todas as soluções são decrescentes?

Passo 1

O enunciado trata da EDO autônoma
y' = -l(y^2 - 8y + dr),
onde d>0. Vamos estudar existência de equilíbrios, estabilidade e comportamento das soluções em função de d.

Passo 2

Para achar os pontos de equilíbrio resolvemos
y' = 0Longrightarrow y^2-8y+d=0
O discriminante é
De<a = 64 - 4d
Se 0<d<16 então De<a>0 e há duas raízes reais
y1 = 8 - raiz64 - 4d2=4 - raiz16-d, y2 = 4 + raiz16-d
Para classificar a estabilidade note que
f(y) = -(y^2-8y+d), f'(y) = -2y +8
Logo
f'(y1) = -2(4-raiz16-d) +8 = 2raiz16-d>0 Rightarrow y1 é instável, éá
f'(y2) = -2(4+raiz16-d) +8 = -2raiz16-d<0 Rightarrow y2 é estável éá

Passo 3

Suponha 0<y(0)<y1<y2. Nesse intervalo (y-y1)<0 e (y-y2)<0, logo
(y-y1)(y-y2)>0 Longrightarrow y' = -l(y-y1r)l(y-y2r)<0,
isto é, y(t) decresce. O tempo T para atingir y=0 vem de
T=integraly(0)^0dsf(s) =integraly(0)^0ds-,(s-y1)(s-y2)
Como o integrando é finito em [0,y1], T<infty.
Se y(0)>y1 então (y-y1)>0, (y-y2)<0 e
y' = -,(y-y1)(y-y2)>0,
ou seja, y(t) cresce e tende assintoticamente a y2 (o tempo até chegar exatamente em y2 é infinito, pois o denominador do integral diverge perto de y2).

Passo 4

Para d=16 o discriminante é zero e existe um único equilíbrio duplo
y^*=4
Nesse caso
y' = -l(y-4r)^2<= 0
para todo y. Assim toda solução é decrescente ou estacionária. Se y(0)>4 ela decresce e tende a 4 em tempo infinito; se y(0)<4 ela decresce para -infty. O ponto é semiestável (estável por cima, instável por baixo).

Passo 5

Para que todas as soluções sejam decrescentes precisamos y'<=0 para todo y, isto é
y^2-8y+d>=0forall y
o que exige discriminante De<a<=0. Logo
64-4d<=0 Longrightarrow d>=16

Resposta

a) Se 0<d<16 há dois equilíbrios
y1=4-raiz16-d(instável), y2=4+raiz16-d(estável) áá
b) Se 0<y(0)<y1 a solução decresce e atinge 0 em tempo finito; se y(0)>y1 ela cresce e tende a y2 quando tto+infty.
c) Se d=16 há um único equilíbrio y^*=4 (duplo, semiestável); as soluções são todas decrescentes.
d) Para d>=16 tem-se y'<=0 em todo o eixo e, portanto, todas as soluções são decrescentes.

Exercícios relacionados