Calcule
integral0^1 e^z+1e^z+z d z
Substituindo lu=e^z+z d u=e^z+1 d z z=0 Rightarrow u=1 z=1 Rightarrow u=1+e
integral0^1 e^z+1e^z+z d z=integral1^1+e 1u d u=[ln |u|]1^1+e=ln (1+e)

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integral0^1 e^z+1e^z+z,dz
O conteúdo aqui é integração por substituição (mudança de variável). Vamos escolher uma substituição que torne o numerador exatamente o diferencial do denominador.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^z + z
Para achar du, derivamos em relação a z:
du = l(e^z + 1r),dz
Repare que e^z+1 é exatamente o numerador da nossa integral, o que é ótimo.

Passo 3

Agora trocamos os limites de integração de z para u.
Quando z=0:
u = e^0 + 0 = 1
Quando z=1:
u = e^1 + 1 = 1 + e

Passo 4

Substituindo na integral original, temos
integral0^1 e^z+1e^z+z,dz = integralu=1^u=1+e 1u,du
A integral de 1/u é o logaritmo natural, então
integral1^1+e 1u,du = l[ln|u|r]1^1+e = lnl(1+er) - ln(1)
Como ln(1)=0, o resultado simplifica para ln(1+e).

Resposta

lnl(1+er)

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