Ache o fator integrante e resolva a equação diferencial
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e pede duas coisas: (1) achar um fator integrante; (2) resolver a equação diferencial. Informação importante retirada do enunciado: a expressão contém
, logo a equação só está bem definida em pontos onde
. A resolução irá considerar os diferentes casos que a igualdade produto igual a zero pode gerar.
Passo 2
Interpretação e estratégia básica (idéia que vamos usar).
A equação está na forma de um produto igual a zero. Isso significa que, em cada ponto onde a equação é válida, pelo menos um dos fatores é zero. Ou seja, em qualquer intervalo onde a expressão esteja definida, ou
A equação está na forma de um produto igual a zero. Isso significa que, em cada ponto onde a equação é válida, pelo menos um dos fatores é zero. Ou seja, em qualquer intervalo onde a expressão esteja definida, ou
ou
Antes de manipular, é útil escrever a equação em forma diferencial: multiplicando por
,
Isso é uma forma
com
e
.
Passo 3
Procurando um fator integrante.
Um fator integrante é uma função que, multiplicando a forma diferencial original, a torna exata. Aqui uma escolha simples e direta é tomar
Um fator integrante
desde que
(isto é, na região onde esse denominador não se anula). Multiplicando a equação por esse
obtemos
ou seja
Portanto
é um fator integrante (trivializante) que transforma a equação em
. Observação: esse fator só é válido onde
.
Passo 4
Integração na região onde
.
Da equação segue imediatamente, integrando, que
Da equação
onde
é constante. Esta família de soluções vale em qualquer intervalo onde
e
. Note que
não é admissível porque a equação original contém
.
Passo 5
Analisando o outro fator:
.
Se então, resolvendo algebricamente (quando
),
Se
Portanto outra família de soluções é
valendo onde
. Essa expressão pode, no entanto, ser estendida por continuidade em
: como
a função definida por
para
e
é contínua (e, na verdade, suave) e também satisfaz a equação onde ela for avaliada (no ponto
a equação degenerava em
, que impõe nenhuma condição).
Passo 6
Casos especiais e consistência.
- Se
e (ou seja , ), então a equação original fica . Como e (para a equação estar bem definida), segue e portanto . Isso já está coberto pela família . - No ponto
a equação vale trivialmente (0=0) e não impõe restrição local; a solução estendida por continuidade em (com valor ) é compatível com isso. - A solução identicamente
não é admissível porque aparece divisão por na equação original.