Ache o fator integrante e resolva a equação diferencial
\left(\operatorname{sen} x-\frac{x}{y}\right) y^{\prime}=0 .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
\left(\operatorname{sen} x-\frac{x}{y}\right) y' = 0
e pede duas coisas: (1) achar um fator integrante; (2) resolver a equação diferencial. Informação importante retirada do enunciado: a expressão contém \dfrac{x}{y}, logo a equação só está bem definida em pontos onde y\neq 0. A resolução irá considerar os diferentes casos que a igualdade produto igual a zero pode gerar.

Passo 2

Interpretação e estratégia básica (idéia que vamos usar).
A equação está na forma de um produto igual a zero. Isso significa que, em cada ponto onde a equação é válida, pelo menos um dos fatores é zero. Ou seja, em qualquer intervalo onde a expressão esteja definida, ou
y'=0
ou
\operatorname{sen} x-\frac{x}{y}=0.
Antes de manipular, é útil escrever a equação em forma diferencial: multiplicando por \,dx,
\left(\operatorname{sen} x-\frac{x}{y}\right)dy=0.
Isso é uma forma M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0 com M(x,y)=0 e N(x,y)=\operatorname{sen} x-\dfrac{x}{y}.

Passo 3

Procurando um fator integrante.
Um fator integrante \mu(x,y) é uma função que, multiplicando a forma diferencial original, a torna exata. Aqui uma escolha simples e direta é tomar
\mu(x,y)=\frac{1}{\operatorname{sen} x-\dfrac{x}{y}},
desde que \operatorname{sen} x-\dfrac{x}{y}\neq 0 (isto é, na região onde esse denominador não se anula). Multiplicando a equação por esse \mu obtemos
1\cdot dy =0,
ou seja
dy=0.
Portanto \mu(x,y)=\dfrac{1}{\operatorname{sen} x-\dfrac{x}{y}} é um fator integrante (trivializante) que transforma a equação em dy=0. Observação: esse fator só é válido onde \operatorname{sen} x-\dfrac{x}{y}\neq 0.

Passo 4

Integração na região onde \operatorname{sen} x-\dfrac{x}{y}\neq 0.
Da equação dy=0 segue imediatamente, integrando, que
y=C,
onde C é constante. Esta família de soluções vale em qualquer intervalo onde \operatorname{sen} x-\dfrac{x}{y}\neq 0 e y\neq 0. Note que y\equiv 0 não é admissível porque a equação original contém x/y.

Passo 5

Analisando o outro fator: \operatorname{sen} x-\dfrac{x}{y}=0.
Se \operatorname{sen} x-\dfrac{x}{y}=0 então, resolvendo algebricamente (quando \operatorname{sen} x\neq 0),
\operatorname{sen} x=\frac{x}{y}\quad\Longrightarrow\quad y=\frac{x}{\operatorname{sen} x}.
Portanto outra família de soluções é
y=\frac{x}{\operatorname{sen} x},
valendo onde \operatorname{sen} x\neq 0. Essa expressão pode, no entanto, ser estendida por continuidade em x=0: como
\lim_{x\to 0}\frac{x}{\operatorname{sen} x}=1,
a função definida por y(x)=\dfrac{x}{\operatorname{sen} x} para x\neq 0 e y(0)=1 é contínua (e, na verdade, suave) e também satisfaz a equação onde ela for avaliada (no ponto x=0 a equação degenerava em 0\cdot y'=0, que impõe nenhuma condição).

Passo 6

Casos especiais e consistência.
  • Se x\neq 0 e \operatorname{sen} x=0 (ou seja x=k\pi, k\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}), então a equação original fica -\dfrac{x}{y}\,y'=0. Como x\neq0 e y\neq0 (para a equação estar bem definida), segue y'=0 e portanto y=C. Isso já está coberto pela família y=C.
  • No ponto x=0 a equação vale trivialmente (0=0) e não impõe restrição local; a solução y=\dfrac{x}{\operatorname{sen} x} estendida por continuidade em 0 (com valor 1) é compatível com isso.
  • A solução identicamente y\equiv 0 não é admissível porque aparece divisão por y na equação original.

Resposta

\displaystyle y=C (constante), para \operatorname{sen} x-\dfrac{x}{y}\neq 0.\n \displaystyle y=\dfrac{x}{\operatorname{sen} x} (com extensão contínua y(0)=1 quando desejado).

Exercícios relacionados