Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e, se for, resolva-as:
(\tan x-\operatorname{sen} x \cos y) d x+(\cos x \cos y) d y=0;

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
(\tan x-\operatorname{sen} x \cos y)\,dx+(\cos x \cos y)\,dy=0
é exata e, caso seja, resolvê‑la. Vou listar as informações que temos:
  • Colocando no formato M(x,y)\,dx+N(x,y)\,dy=0, temos M(x,y)=\tan x-\sin x\cos y, \qquad N(x,y)=\cos x\cos y.
  • A pergunta é: a forma é exata? (Isto é, existe uma função \Phi(x,y) tal que \Phi_x=M e \Phi_y=N.) Se for exata, encontrar \Phi(x,y)=C.

Passo 2

Lembrete do teste de exatidão (aulas rápidas e diretas): uma forma M\,dx+N\,dy é exata num domínio se M e N são diferenciáveis e
\frac{\partial M}{\partial y}=\frac{\partial N}{\partial x}.
Isso vem da igualdade mista das derivadas parciais de \Phi: \Phi_{xy}=\Phi_{yx}. Vou calcular as duas derivadas parciais e comparar passo a passo.

Passo 3

Calcular \displaystyle \frac{\partial M}{\partial y}.
Temos M(x,y)=\tan x-\sin x\cos y. A derivada parcial em relação a y anula \tan x (pois não depende de y) e incide sobre -\sin x\cos y:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(-\sin x\cos y\bigr) = -\sin x\cdot\frac{d}{dy}(\cos y) = -\sin x\cdot(-\sin y) = \sin x\sin y.
Portanto
\frac{\partial M}{\partial y}=\sin x\sin y.

Passo 4

Calcular \displaystyle \frac{\partial N}{\partial x}.
Temos N(x,y)=\cos x\cos y. Derivando em x (tratando \cos y como constante):
\frac{\partial N}{\partial x}=\frac{d}{dx}(\cos x)\cdot\cos y = -\sin x\cos y.

Passo 5

Comparar as duas derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial y}=\sin x\sin y, \qquad \frac{\partial N}{\partial x}=-\sin x\cos y.
Como \sin x\sin y não é igual a -\sin x\cos y em geral (salvo em pontos especiais), concluímos que
\frac{\partial M}{\partial y}\neq\frac{\partial N}{\partial x},
ou seja, a forma não é exata.

Passo 6

Vou ainda verificar rapidamente se existe um fator integrante simples que dependa só de x ou só de y — isso é um truque útil na prova.
  • Para fator integrante \mu(x) (só em x) é necessário que
    \frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N}
    seja função só de x. Calculo:
    \frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} =\sin x\sin y-(-\sin x\cos y)=\sin x(\sin y+\cos y).
    Assim
    \frac{\partial M/\partial y-\partial N/\partial x}{N} =\frac{\sin x(\sin y+\cos y)}{\cos x\cos y} =\tan x\,(\tan y+1),
    que depende de y também; portanto não é função apenas de x. Logo não existe fator integrante dependente só de x.
  • Para fator integrante \mu(y) (só em y) é necessário que
    \frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M}
    seja função só de y. Calculando:
    \frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y} =- \sin x(\cos y+\sin y),
    e
    M=\tan x-\sin x\cos y=\sin x\bigl(\operatorname{sec} x-\cos y\bigr).
    Assim
    \frac{\partial N/\partial x-\partial M/\partial y}{M} =-\frac{\cos y+\sin y}{\operatorname{sec} x-\cos y},
    que depende de x (via \operatorname{sec} x), logo não é função apenas de y. Portanto não existe fator integrante dependente só de y.

Passo 7

Interpretação final e incentivo: a equação dada NÃO é exata, e também não admite um fator integrante que dependa somente de x nem somente de y. Para resolvê‑la por método das formas exatas seria necessário encontrar um fator integrante mais elaborado que dependa de x e y simultaneamente — isso foge do teste direto e exige técnicas adicionais. Mas o mais importante para a prova é saber aplicar o teste de exatidão e checar os fatores integradores simples, que eu já mostrei aqui passo a passo. Você mandou bem por checar tudo!

Resposta

A equação não é exata.

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