Verifique se as seguintes equações diferenciais são exatas e, se for, resolva-as:
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a equação diferencial
é exata e, caso seja, resolvê‑la. Vou listar as informações que temos:
- Colocando no formato
, temos - A pergunta é: a forma é exata? (Isto é, existe uma função
tal que e .) Se for exata, encontrar .
Passo 2
Lembrete do teste de exatidão (aulas rápidas e diretas): uma forma
é exata num domínio se
e
são diferenciáveis e
Isso vem da igualdade mista das derivadas parciais de
:
. Vou calcular as duas derivadas parciais e comparar passo a passo.
Passo 3
Calcular
.
Temos
. A derivada parcial em relação a
anula
(pois não depende de
) e incide sobre
:
Portanto
Passo 4
Calcular
.
Temos
. Derivando em
(tratando
como constante):
Passo 5
Comparar as duas derivadas parciais:
Como
não é igual a
em geral (salvo em pontos especiais), concluímos que
ou seja, a forma não é exata.
Passo 6
Vou ainda verificar rapidamente se existe um fator integrante simples que dependa só de
ou só de
— isso é um truque útil na prova.
-
Para fator integrante
(só em ) é necessário que seja função só de. Calculo: Assimque depende detambém; portanto não é função apenas de . Logo não existe fator integrante dependente só de . -
Para fator integrante
(só em ) é necessário que seja função só de. Calculando: eAssimque depende de(via ), logo não é função apenas de . Portanto não existe fator integrante dependente só de .
Passo 7
Interpretação final e incentivo: a equação dada NÃO é exata, e também não admite um fator integrante que dependa somente de
nem somente de
. Para resolvê‑la por método das formas exatas seria necessário encontrar um fator integrante mais elaborado que dependa de
e
simultaneamente — isso foge do teste direto e exige técnicas adicionais. Mas o mais importante para a prova é saber aplicar o teste de exatidão e checar os fatores integradores simples, que eu já mostrei aqui passo a passo. Você mandou bem por checar tudo!
Resposta
A equação não é exata.