Ache a forma canônica de Jordan da seguinte matriz:
\left(\begin{array}{cccc}2 & 1 & 0 & 1 \\\\ 1 & 3 & -1 & 3 \\\\ 0 & 1 & 2 & 1 \\\\ 1 & -1 & -1 & -1\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado pede: encontrar a forma canônica de Jordan da matriz
A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 3 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2 & 1\\[4pt] 1 & -1 & -1 & -1 \end{pmatrix}.
Dados relevantes que vamos usar:
  • A matriz A é 4\times4.
  • Precisamos encontrar os autovalores (com multiplicidade algébrica) e as dimensões dos respectivos espaços próprios (multiplicidade geométrica), para então determinar os tamanhos dos blocos de Jordan.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Escrevendo A-\lambda I:
A-\lambda I=\begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 3-\lambda & -1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 2-\lambda & 1\\[4pt] 1 & -1 & -1 & -1-\lambda \end{pmatrix}.
Fazendo expansão por cofatores na primeira coluna (detalhei os cálculos para cada menor 3×3):
  • O menor associado a 2-\lambda
\det\begin{pmatrix} 3-\lambda & -1 & 3\\[4pt] 1 & 2-\lambda & 1\\[4pt] -1 & -1 & -1-\lambda \end{pmatrix}=-\lambda^3+4\lambda^2-6\lambda.
  • Os dois menores restantes (quando se elimina a segunda e a quarta linha) avaliam-se a \lambda(\lambda-2) cada um.
Portanto, reunindo os termos:
\chi_A(\lambda)=(2-\lambda)\big(-\lambda^3+4\lambda^2-6\lambda\big)-\lambda(\lambda-2)-\lambda(\lambda-2).
Fatorando e simplificando obtém‑se
\chi_A(\lambda)=\lambda(\lambda^3-6\lambda^2+12\lambda-8)=\lambda(\lambda-2)^3.]

Passo 3

Dos fatores do polinômio característico concluímos os autovalores e suas multiplicidades algébricas:
  • \lambda=0 com multiplicidade algébrica 1.
  • \lambda=2 com multiplicidade algébrica 3.
Agora precisamos das multiplicidades geométricas (dimensões dos espaços próprios) para cada autovalor.

Passo 4

Autovalor [\lambda=0): resolver A v=0.
Escrevendo v=(x,y,z,w)^T e as equações de A v=0:
\begin{cases} 2x+y+w=0,\\[4pt] x+3y-z+3w=0,\\[4pt] y+2z+w=0,\\[4pt] x-y-z-w=0. \end{cases}
Da primeira equação y=-2x-w\]. Substituindo na terceira: \(-2x-w+2z+w=0\Rightarrow z=x.
Substituindo em (4): x-(-2x-w)-x-w=0\Rightarrow 3x-z=0\Rightarrow 3x-x=0\Rightarrow x=0.
Logo x=0,z=0 e então y=-w. A solução livre é w=t, dando
v=t(0,-1,0,1).
Portanto \dim\ker(A-0I)=1. A multiplicidade geométrica de \lambda=0 é 1 (igual à algébrica).]

Passo 5

Autovalor [\lambda=2): resolver (A-2I)v=0.
Calcule B=A-2I:
B=\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & 1 & -1 & 3\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 1\\[4pt] 1 & -1 & -1 & -3 \end{pmatrix}.
Sistema Bv=0 com v=(x,y,z,w)^T dá:
\begin{cases} y+w=0,\\[4pt] x+y-z+3w=0,\\[4pt] y+w=0,\\[4pt] x-y-z-3w=0. \end{cases}
De y+w=0\] vem \(y=-w. Substituindo nas outras duas:
x - z + 2w =0,\qquad x - z -2w =0.
Subtraindo as equações obtemos 4w=0\Rightarrow w=0. Então y=0 e x=z. Logo as soluções são
v=s(1,0,1,0).
Portanto \dim\ker(B)=1. A multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1, ou seja, menor que a algébrica 3: haverá blocos de Jordan não-triviais para \lambda=2.]

Passo 6

Para saber a decomposição dos blocos (tamanhos) usamos as dimensões das nulidades de potências de B=A-2I. Calculamos B^2 e \ker(B^2).
Multiplicando B por si mesmo obtém‑se
B^2=\begin{pmatrix} 2 & 0 & -2 & 0\\[4pt] 4 & -2 & -4 & -6\\[4pt] 2 & 0 & -2 & 0\\[4pt] -4 & 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}.
Resolver B^2 v=0 leva às equações
x=z,\qquad -y-3w=0\Rightarrow y=-3w,
ou seja a solução geral é
v=s(1,0,1,0)+t(0,-3,0,1),
o que mostra \dim\ker(B^2)=2.
Agora aplicamos a regra geral: se os blocos de Jordan para \lambda=2 têm tamanhos n_1\ge n_2\ge\cdots com soma 3, então
\dim\ker(B)=\sum_i \min(1,n_i),\qquad \dim\ker(B^2)=\sum_i \min(2,n_i).
Aqui temos \dim\ker(B)=1 e \dim\ker(B^2)=2. As únicas partições de 3 que satisfazem isso são: um bloco de tamanho 3 (pois para [3] obtemos \dim\ker(B)=1,\\ \dim\ker(B^2)=2), ou outras que não batem. Portanto existe exatamente um bloco de Jordan de tamanho 3 para \lambda=2.
Resumo dos blocos:
  • Para \lambda=0: um bloco 1\times1.
  • Para \lambda=2: um bloco 3\times3.]

Passo 7

(Para quem quiser construir explicitamente a base de Jordan) Podemos escolher:
  • vetor próprio para \lambda=2: v_1=(1,0,1,0)^T.
  • procurar v_2 tal que B v_2=v_1. Uma solução é v_2=(0,\tfrac{3}{2},0,-\tfrac{1}{2})^T (ou, multiplicando por 2, (0,3,0,-1)^T e ajustando escala).
  • procurar v_3 tal que B v_3=v_2; existe porque \dim\ker(B^2)=2 e \dim\ker(B)=1, garantindo cadeia generalizada de comprimento 3.
Com essa cadeia \{v_1,v_2,v_3\} (junto com um autovetor para \lambda=0, por exemplo (0,-1,0,1)^T) forma‑se a base que leva A à forma de Jordan.

Passo 8

Concluímos: a forma canônica de Jordan de A é a matriz diagonal por blocos com um bloco 1\times1 para o autovalor 0 e um bloco de Jordan 3\times3 para o autovalor 2. Explicitamente, uma escolha padrão (colocando primeiro o bloco de tamanho 1) é
J=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.]

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}]

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