Precisamos encontrar os autovalores (com multiplicidade algébrica) e as dimensões dos respectivos espaços próprios (multiplicidade geométrica), para então determinar os tamanhos dos blocos de Jordan.]
Passo 2
Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
De y+w=0\] vem \(y=-w. Substituindo nas outras duas:
x - z + 2w =0,\qquad x - z -2w =0.
Subtraindo as equações obtemos 4w=0\Rightarrow w=0. Então y=0 e x=z. Logo as soluções são
v=s(1,0,1,0).
Portanto \dim\ker(B)=1. A multiplicidade geométrica de \lambda=2 é 1, ou seja, menor que a algébrica 3: haverá blocos de Jordan não-triviais para \lambda=2.]
Passo 6
Para saber a decomposição dos blocos (tamanhos) usamos as dimensões das nulidades de potências de B=A-2I. Calculamos B^2 e \ker(B^2).
Aqui temos \dim\ker(B)=1 e \dim\ker(B^2)=2. As únicas partições de 3 que satisfazem isso são: um bloco de tamanho 3 (pois para [3] obtemos \dim\ker(B)=1,\\ \dim\ker(B^2)=2), ou outras que não batem. Portanto existe exatamente um bloco de Jordan de tamanho 3 para \lambda=2.
Resumo dos blocos:
Para \lambda=0: um bloco 1\times1.
Para \lambda=2: um bloco 3\times3.]
Passo 7
(Para quem quiser construir explicitamente a base de Jordan) Podemos escolher:
vetor próprio para \lambda=2: v_1=(1,0,1,0)^T.
procurar v_2 tal que B v_2=v_1. Uma solução é v_2=(0,\tfrac{3}{2},0,-\tfrac{1}{2})^T (ou, multiplicando por 2, (0,3,0,-1)^T e ajustando escala).
procurar v_3 tal que B v_3=v_2; existe porque \dim\ker(B^2)=2 e \dim\ker(B)=1, garantindo cadeia generalizada de comprimento 3.
Com essa cadeia \{v_1,v_2,v_3\} (junto com um autovetor para \lambda=0, por exemplo (0,-1,0,1)^T) forma‑se a base que leva A à forma de Jordan.
Passo 8
Concluímos: a forma canônica de Jordan de A é a matriz diagonal por blocos com um bloco 1\times1 para o autovalor 0 e um bloco de Jordan 3\times3 para o autovalor 2. Explicitamente, uma escolha padrão (colocando primeiro o bloco de tamanho 1) é