Ache a forma canônica de Jordan da seguinte matriz:
\left(\begin{array}{ccc}2 & 1 & 0 \\\\ 1 & -1 & -1 \\\\ 0 & 1 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos foi dado.
  • Pede: encontrar a forma canônica de Jordan da matriz dada.
  • Matriz fornecida:
A=\begin{pmatrix}2 & 1 & 0 \\[4pt] 1 & -1 & -1 \\[4pt] 0 & 1 & 2\end{pmatrix}
  • Informações relevantes que vou usar mais adiante:
    • A forma de Jordan é determinada pelos autovalores de A, suas multiplicidades algébricas e geométricas, e pelas cadeias generalizadas quando a multiplicidade geométrica for menor que a algébrica.
    • Portanto preciso calcular o polinômio característico, os autovalores (e suas multiplicidades algébricas) e as dimensões dos espaços próprios (multiplicidades geométricas). Se houver multiplicidade algébrica maior que geométrica, preciso encontrar vetores generalizados para montar a cadeia de Jordan.]

Passo 2

Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Primeiro escrevo A-\lambda I:
A-\lambda I= \begin{pmatrix} 2-\lambda & 1 & 0\\[4pt] 1 & -1-\lambda & -1\\[4pt] 0 & 1 & 2-\lambda \end{pmatrix}.
Faço o determinante expandindo pela primeira coluna (ou pela primeira linha; aqui uso a primeira linha para economizar contas):
\chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I) =(2-\lambda)\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -1\\[4pt] 1 & 2-\lambda\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 0 & 2-\lambda\end{pmatrix}.
Calculo cada determinante menor:
\det\begin{pmatrix}-1-\lambda & -1\\[4pt] 1 & 2-\lambda\end{pmatrix} =(-1-\lambda)(2-\lambda)-(-1)\cdot 1
\qquad =(-1-\lambda)(2-\lambda)+1.
Expando (-1-\lambda)(2-\lambda):
(-1-\lambda)(2-\lambda)=\lambda^{2}-\lambda-2.
Somando +1
\lambda^{2}-\lambda-1.
O outro determinante é
\det\begin{pmatrix}1 & -1\\[4pt] 0 & 2-\lambda\end{pmatrix}=1\cdot(2-\lambda)-0=2-\lambda.
Portanto
\chi_A(\lambda)=(2-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-\lambda-1\bigr)-(2-\lambda).
Coloco em evidência (2-\lambda):
\chi_A(\lambda)=(2-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-\lambda-1-1\bigr) =(2-\lambda)\bigl(\lambda^{2}-\lambda-2\bigr).
Fatorando a quadrática:
\lambda^{2}-\lambda-2=(\lambda-2)(\lambda+1).
Assim
\chi_A(\lambda)=(2-\lambda)(\lambda-2)(\lambda+1).
Como (2-\lambda)=-(\lambda-2), obtemos, até sinal,
\chi_A(\lambda)=-(\lambda-2)^{2}(\lambda+1).]

Passo 3

Identificar autovalores e suas multiplicidades algébricas.
  • Das fatorações acima vemos que os autovalores são \lambda=2 e \lambda=-1.
  • Multiplicidade algébrica de \lambda=2 é 2 (aparece como (\lambda-2)^{2}).
  • Multiplicidade algébrica de \lambda=-1 é 1.

Passo 4

Calcular o espaço próprio (autovetores) para [\lambda=2) e obter a multiplicidade geométrica.
Resolvo (A-2I)x=0. A matriz A-2I é
A-2I=\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix}.
Escrevo o sistema linear correspondente:
\begin{cases} 0\cdot x_1 + x_2 + 0\cdot x_3 = 0,\\[4pt] x_1 -3x_2 - x_3 = 0,\\[4pt] 0\cdot x_1 + x_2 + 0\cdot x_3 = 0. \end{cases}
Da primeira (ou terceira) equação vem x_2=0\]. Substituindo na segunda: \[x_1 - x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = x_3.\] Logo os vetores próprios têm a forma \((t,0,t) = t(1,0,1). Portanto um autovetor não nulo é
v_1=\begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
A dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) para \lambda=2 é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2. Isso indica que haverá um bloco de Jordan de tamanho 2 associado a \lambda=2 (ou seja, não é diagonalizável nesse autovalor).]

Passo 5

Encontrar um vetor generalizado para [\lambda=2) (cadeia de Jordan de comprimento 2).
Para construir a cadeia precisamos de um vetor v_2 tal que
(A-2I)v_2 = v_1,
onde v_1 é o autovetor escolhido. Escrevo o sistema (A-2I)v_2 = v_1. Se v_2=(a,b,c)^{T}, temos
\begin{pmatrix}0 & 1 & 0\\[4pt] 1 & -3 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 0\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a\\[4pt] b\\[4pt] c\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt] 0\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema
\begin{cases} b = 1,\\[4pt] a -3b - c = 0,\\[4pt] b = 1. \end{cases}
Daqui b=1\]. Substituindo na segunda equação: \[a -3\cdot 1 - c = 0 \quad\Rightarrow\quad a = c+3.\] Posso escolher \(c livremente; tomo c=0 para simplicidade, então a=3. Assim um vetor generalizado é
v_2=\begin{pmatrix}3\\[4pt] 1\\[4pt] 0\end{pmatrix},
verificando
(A-2I)v_2 = v_1.]

Passo 6

Encontrar autovetores para [\lambda=-1) (bloco simples).
Resolvo (A+I)x=0. A matriz A+I é
A+I=\begin{pmatrix}3 & 1 & 0\\[4pt] 1 & 0 & -1\\[4pt] 0 & 1 & 3\end{pmatrix}.
O sistema é
\begin{cases} 3x_1 + x_2 = 0,\\[4pt] x_1 - x_3 = 0,\\[4pt] x_2 + 3x_3 = 0. \end{cases}
Da segunda equação x_3=x_1\]. Da primeira \(x_2=-3x_1. A terceira é então -3x_1+3x_1=0, consistente. Tomando x_1=1 obtenho um autovetor:
v_3=\begin{pmatrix}1\\[4pt] -3\\[4pt] 1\end{pmatrix}.
Como \lambda=-1 tem multiplicidade algébrica 1, aqui o bloco de Jordan corresponde a um 1\times1 (apenas o próprio valor -1 na diagonal).]

Passo 7

Montar a forma canônica de Jordan.
Temos:
  • Para \lambda=2: multiplicidade algébrica 2 e geométrica 1 ⇒ um bloco Jordan 2\times2 de autovalor 2, isto é
J_{2}(2)=\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt] 0 & 2\end{pmatrix}.
  • Para \lambda=-1: bloco 1\times1 [-1].
A forma canônica de Jordan (colocando o bloco 2\times2 primeiro) é a matriz diagonal por blocos
J=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}.
Uma possível matriz de mudança de base que realiza a similaridade P^{-1}AP=J é obtida escolhendo as colunas de P como a cadeia (v_1,v_2,v_3) construída: por exemplo
P=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 1 & -3\\[4pt] 1 & 0 & 1 \end{pmatrix},
mas o enunciado pediu apenas a forma de Jordan, então a resposta final é J acima.]

Resposta

\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}]

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