A forma de Jordan é determinada pelos autovalores de A, suas multiplicidades algébricas e geométricas, e pelas cadeias generalizadas quando a multiplicidade geométrica for menor que a algébrica.
Portanto preciso calcular o polinômio característico, os autovalores (e suas multiplicidades algébricas) e as dimensões dos espaços próprios (multiplicidades geométricas). Se houver multiplicidade algébrica maior que geométrica, preciso encontrar vetores generalizados para montar a cadeia de Jordan.]
Passo 2
Calcular o polinômio característico \chi_A(\lambda)=\det(A-\lambda I).
Da primeira (ou terceira) equação vem x_2=0\]. Substituindo na segunda:
\[x_1 - x_3 = 0 \quad\Rightarrow\quad x_1 = x_3.\]
Logo os vetores próprios têm a forma \((t,0,t) = t(1,0,1). Portanto um autovetor não nulo é
A dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) para \lambda=2 é 1, menor que a multiplicidade algébrica 2. Isso indica que haverá um bloco de Jordan de tamanho 2 associado a \lambda=2 (ou seja, não é diagonalizável nesse autovalor).]
Passo 5
Encontrar um vetor generalizado para [\lambda=2) (cadeia de Jordan de comprimento 2).
Para construir a cadeia precisamos de um vetor v_2 tal que
(A-2I)v_2 = v_1,
onde v_1 é o autovetor escolhido. Escrevo o sistema (A-2I)v_2 = v_1. Se v_2=(a,b,c)^{T}, temos
\begin{cases} b = 1,\\[4pt] a -3b - c = 0,\\[4pt] b = 1. \end{cases}
Daqui b=1\]. Substituindo na segunda equação:
\[a -3\cdot 1 - c = 0 \quad\Rightarrow\quad a = c+3.\]
Posso escolher \(c livremente; tomo c=0 para simplicidade, então a=3. Assim um vetor generalizado é
Uma possível matriz de mudança de base que realiza a similaridade P^{-1}AP=J é obtida escolhendo as colunas de P como a cadeia (v_1,v_2,v_3) construída: por exemplo