Seja a transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{2} tal que T(1,2,0)=(2,-1), T(1,0,1)=(-2,3) e T(0,3,1)=(1,0). Determine a matriz A de T nas bases canônicas de R^{3} e R^{2}.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com as imagens de três vetores:
  • T(1,2,0)=(2,-1).
  • T(1,0,1)=(-2,3).
  • T(0,3,1)=(1,0).
O que se pede: determinar a matriz A de T nas bases canônicas de \mathbb{R}^3 (colunas correspondendo a e_1,e_2,e_3) e \mathbb{R}^2. Em outras palavras, encontrar a matriz A\in\mathbb{R}^{2\times3} tal que T(x)=A x para todo x\in\mathbb{R}^3, usando as informações dadas acima.

Passo 2

Ideia (aulas rápidas e sem mistério): se escrevemos a matriz desconhecida como
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f \end{pmatrix},
então, por multiplicação de matriz por vetor, para qualquer vetor x=(x_1,x_2,x_3)^T vale
A x= \begin{pmatrix} a x_1 + b x_2 + c x_3\\[4pt] d x_1 + e x_2 + f x_3 \end{pmatrix}.
Como T é linear e T(x)=Ax, podemos aplicar essa fórmula aos três vetores dados e obter um sistema de equações lineares para a,b,c,d,e,f. Vou montar essas equações em cada passo.]

Passo 3

Aplicando A a (1,2,0) e igualando a (2,-1):
A\begin{pmatrix}1\\[2pt]2\\[2pt]0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+2b\\[4pt]d+2e\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}2\\[4pt]-1\end{pmatrix}.
Isso fornece as duas equações
a + 2b = 2,\qquad d + 2e = -1.]

Passo 4

Aplicando A a (1,0,1) e igualando a (-2,3):
A\begin{pmatrix}1\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}a+c\\[4pt]d+f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-2\\[4pt]3\end{pmatrix}.
Dá as equações
a + c = -2,\qquad d + f = 3.]

Passo 5

Aplicando A a (0,3,1) e igualando a (1,0):
A\begin{pmatrix}0\\[2pt]3\\[2pt]1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}3b + c\\[4pt]3e + f\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Dá as equações
3b + c = 1,\qquad 3e + f = 0.]

Passo 6

Agora resolvemos o sistema para a,b,c\) (primeira linha da matriz). Das equações obtidas: \[\begin{cases} a + 2b = 2,\\[4pt] a + c = -2,\\[4pt] 3b + c = 1. \end{cases}
Da segunda equação segue c = -2 - a\]. Substituindo em \(3b + c = 1:
3b + (-2 - a) = 1 \quad\Rightarrow\quad 3b - a = 3.
Isolando a: a = 3b - 3. Substituir em a + 2b = 2:
(3b - 3) + 2b = 2 \quad\Rightarrow\quad 5b - 3 = 2 \quad\Rightarrow\quad 5b = 5 \quad\Rightarrow\quad b = 1.
Então
a = 3\cdot 1 - 3 = 0, \qquad c = -2 - a = -2 - 0 = -2.]

Passo 7

Agora resolvemos para d,e,f\) (segunda linha da matriz). Das equações: \[\begin{cases} d + 2e = -1,\\[4pt] d + f = 3,\\[4pt] 3e + f = 0. \end{cases}
Da terceira equação f = -3e\]. Substituir em \(d + f = 3 d - 3e = 3.
Agora usamos d + 2e = -1. Subtraindo estas duas equações:
(d - 3e) - (d + 2e) = 3 - (-1) \quad\Rightarrow\quad -5e = 4 \quad\Rightarrow\quad e = -\frac{4}{5}.
Então
d + 2e = -1 \quad\Rightarrow\quad d + 2\Big(-\frac{4}{5}\Big) = -1
d - \frac{8}{5} = -1 \quad\Rightarrow\quad d = -1 + \frac{8}{5} = \frac{3}{5}.
E
f = -3e = -3\Big(-\frac{4}{5}\Big) = \frac{12}{5}.]

Passo 8

Montando a matriz com os coeficientes encontrados:
A= \begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & -2\\[4pt] \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{12}{5} \end{pmatrix}.
Opcional (checagem rápida): multiplicando A pelos vetores dados recuperam-se as imagens fornecidas (pode-se checar substituindo).]

Resposta

\begin{pmatrix} 0 & 1 & -2\\[4pt] \frac{3}{5} & -\frac{4}{5} & \frac{12}{5} \end{pmatrix}]

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