Seja a transformação linear T: R^{3} \rightarrow R^{2} tal que T(1,2,0)=(2,-1), T(1,0,1)=(-2,3) e T(0,3,1)=(1,0). Determine a matriz A de T nas bases canônicas de R^{3} e R^{2}.
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear T:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2 com as imagens de três vetores:
T(1,2,0)=(2,-1).
T(1,0,1)=(-2,3).
T(0,3,1)=(1,0).
O que se pede: determinar a matriz A de T nas bases canônicas de \mathbb{R}^3 (colunas correspondendo a e_1,e_2,e_3) e \mathbb{R}^2. Em outras palavras, encontrar a matriz A\in\mathbb{R}^{2\times3} tal que T(x)=A x para todo x\in\mathbb{R}^3, usando as informações dadas acima.
Passo 2
Ideia (aulas rápidas e sem mistério): se escrevemos a matriz desconhecida como
A=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f \end{pmatrix},
então, por multiplicação de matriz por vetor, para qualquer vetor x=(x_1,x_2,x_3)^T vale
A x= \begin{pmatrix} a x_1 + b x_2 + c x_3\\[4pt] d x_1 + e x_2 + f x_3 \end{pmatrix}.
Como T é linear e T(x)=Ax, podemos aplicar essa fórmula aos três vetores dados e obter um sistema de equações lineares para a,b,c,d,e,f. Vou montar essas equações em cada passo.]
Agora resolvemos o sistema para a,b,c\) (primeira linha da matriz).
Das equações obtidas:
\[\begin{cases} a + 2b = 2,\\[4pt] a + c = -2,\\[4pt] 3b + c = 1. \end{cases}
Da segunda equação segue c = -2 - a\]. Substituindo em \(3b + c = 1:
3b + (-2 - a) = 1 \quad\Rightarrow\quad 3b - a = 3.