Ache todas as possíveis formas canônicas de Jordan de um operador linear T cujo polinômio característico é p_{T}(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda-2)^{3}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar todas as formas canônicas de Jordan possíveis para um operador linear T cujo polinômio característico é
p_{T}(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda-2)^{3}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O polinômio característico indica que os autovalores de T são \lambda=-1 com multiplicidade algébrica 1 e \lambda=2 com multiplicidade algébrica 3.
  • A dimensão do espaço (ou o tamanho da matriz de T) é 1+3=4.
  • A tarefa é listar todas as formas de Jordan (matrizes de Jordan, até similaridade) compatíveis com esse polinômio característico.

Passo 2

Vamos recapitular o que significa “forma canônica de Jordan” e quais restrições ela deve obedecer (a explicação é passo a passo e bem direta).
  • Definição simples: uma matriz em forma de Jordan é uma matriz blocos em que cada bloco é um bloco de Jordan J_{k}(\lambda). O bloco J_{k}(\lambda) é uma matriz k\times k que tem \lambda na diagonal principal, 1 na diagonal imediatamente acima da principal e 0 em todos os outros lugares.
  • Exemplo concreto: o bloco J_{3}(2) é
J_{3}(2)=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}.
  • Relação com o polinômio característico: o grau total dos blocos correspondentes a um autovalor \lambda_{0} deve somar a multiplicidade algébrica de \lambda_{0}. Por exemplo, para \lambda=2 (multiplicidade algébrica 3) os tamanhos dos blocos de Jordan associados a 2 devem somar 3.
  • Relação com multiplicidade geométrica: o número de blocos de Jordan associados a \lambda_{0} é exatamente a multiplicidade geométrica de \lambda_{0}.
  • Relação com o polinômio mínimo: o expoente de (\lambda-\lambda_{0}) no polinômio mínimo de T é igual ao tamanho do maior bloco de Jordan associado a \lambda_{0}.]

Passo 3

Aplicando as regras ao autovalor \lambda=-1:
  • A multiplicidade algébrica de \lambda=-1 é 1. Logo não há escolha: deve haver exatamente um bloco de Jordan de dimensão 1 para -1, ou seja o bloco é \bigl[-1\bigr].
  • Consequência: a parte do bloco correspondente a -1 na forma de Jordan é sempre
\begin{pmatrix}-1\end{pmatrix}.

Passo 4

Aplicando as regras ao autovalor \lambda=2 (multiplicidade algébrica 3):
  • Os blocos de Jordan associados a \lambda=2 devem ter tamanhos que somem 3. As partições de 3 (as maneiras de escrever 3 como soma de inteiros positivos, sem ordem) são:
    1. 3 (um bloco de tamanho 3),
    2. 2+1 (um bloco de tamanho 2 e um de tamanho 1),
    3. 1+1+1 (três blocos de tamanho 1).
  • Cada partição corresponde a uma possibilidade distinta de forma de Jordan (porque muda o número e tamanho dos blocos).
  • Para cada partição, podemos descrever o bloco(es):
    1. Caso [3]: o bloco é J_{3}(2) (matriz 3\times3 com 2 na diagonal e 1 na superdiagonal).
    2. Caso [2,1]: há um bloco J_{2}(2) e um bloco J_{1}(2)=\bigl[2\bigr].
    3. Caso [1,1,1]: três blocos J_{1}(2)=\bigl[2\bigr] (i.e. a parte correspondente a 2 é simplesmente 2I_{3}).
  • Também é útil anotar a multiplicidade geométrica de \lambda=2 em cada caso:
    1. Para [3]: multiplicidade geométrica =1 (um bloco).
    2. Para [2,1]: multiplicidade geométrica =2 (dois blocos).
    3. Para [1,1,1]: multiplicidade geométrica =3 (três blocos).
  • E o polinômio mínimo relativo a \lambda=2 (expansão do fator (\lambda-2) no polinômio mínimo) é dado pelo maior tamanho de bloco:
    1. Para [3]: fator (\lambda-2)^{3}.
    2. Para [2,1]: fator (\lambda-2)^{2}.
    3. Para [1,1,1]: fator (\lambda-2)^{1}.

Passo 5

Construindo as formas de Jordan completas (combinando o bloco -1 com as opções para 2). A forma de Jordan de T será sempre a matriz bloco diagonal com \bigl[-1\bigr] e a parte correspondente a 2 conforme uma das três partições. Apresento as três formas possíveis como matrizes 4\times4 (ordem escolhida: primeiro o bloco -1, depois os blocos para 2).
  • Opção 1: bloco único de tamanho 3 para \lambda=2:
J^{(1)}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
ou seja \operatorname{diag}\bigl(\,[ -1 ],\,J_{3}(2)\bigr).
  • Opção 2: blocos de tamanhos 2 e 1 para \lambda=2:
J^{(2)}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
ou seja \operatorname{diag}\bigl(\,[ -1 ],\,J_{2}(2),\,[2]\bigr).
  • Opção 3: três blocos 1\times1 para \lambda=2 (todas as multiplicidades geométricas máximas):
J^{(3)}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix},
ou seja \operatorname{diag}\bigl(\,[ -1 ],\,[2],[2],[2]\bigr)=\operatorname{diag}\bigl(\,-1,2,2,2\bigr).]

Passo 6

Resumo das informações úteis para a prova (forma curta para decorar):
  • Sempre incluir o bloco \bigl[-1\bigr] (porque multiplicidade algébrica de -1 é 1).
  • Para \lambda=2 as possíveis partições de 3 dão exatamente três formas de Jordan distintas: [3], [2,1] e [1,1,1].
  • Os respectivos polinômios mínimos são:
    1. \mu_{1}(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda-2)^{3},
    2. \mu_{2}(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda-2)^{2},
    3. \mu_{3}(\lambda)=(\lambda+1)(\lambda-2).

Resposta

J^{(1)}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 1\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
J^{(2)}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 1 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
J^{(3)}=\begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 2 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 2 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}]

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