Resolver os seguintes sistemas de equações lineares: \left\{\begin{aligned}-2 x-y+3 z+2 t & =-1 \\\\ 2 x-3 y+z+3 t & =1 \\\ x+y+z-t & =2 .\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema de 3 equações lineares com 4 incógnitas:
\begin{cases} -2x - y + 3z + 2t = -1,\\[4pt] 2x - 3y + z + 3t = 1,\\[4pt] x + y + z - t = 2. \end{cases}
Pergunta: resolver o sistema, ou seja, encontrar todos os quádruplos (x,y,z,t) que satisfazem as três equações.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Há 3 equações e 4 incógnitas \,x,y,z,t.
Isso sugere que o sistema pode ter infinitas soluções (se for compatível) com um grau de liberdade (um parâmetro), pois normalmente a dimensão do espaço solução é 4-\text{posto}.
O sistema está totalmente determinado pelo enunciado; não faltam dados.]
Passo 2
Escolha do método (breve): vou usar eliminação de Gauss (eliminação das incógnitas por operações elementares entre equações). Por que? É um método direto, sistemático, ensinável passo a passo e adequado para sistemas lineares; além disso é o método mais básico e confiável para fazer nas provas sem truques extras.
Vou organizar as equações como linhas e aplicar operações que não mudam o conjunto solução (trocar linhas, somar múltiplos de uma linha a outra, multiplicar linha por número não nulo). Essas operações permitem zerar coeficientes abaixo (e depois acima) dos pivôs para resolver por retro-substituição.
Começo reescrevendo as equações (chamo-as R_1,R_2,R_3):
R_1:\\\ -2x - y + 3z + 2t = -1,
R_2:\\\ 2x - 3y + z + 3t = 1,
R_3:\\ x + y + z - t = 2.
Passo 3
Primeiro objetivo: ter um pivô igual a 1 na primeira linha para facilitar as eliminações. A linha R_3 já tem coeficiente 1 para x. Vou trocar R_1 com R_3 para colocá-la em cima (troca de linhas mantém a solução).
Após trocar R_1 e R_3:
R_1:\\ x + y + z - t = 2,
R_2:\\\ 2x - 3y + z + 3t = 1,
R_3:\\\ -2x - y + 3z + 2t = -1.
Explicação rápida: trocar linhas é apenas reorganizar as equações; não muda quem são as soluções.
Passo 4
Zerar os coeficientes de x em R_2 e R_3 usando R_1.
Operações:
R_2 \leftarrow R_2 - 2R_1.
R_3 \leftarrow R_3 + 2R_1.
Faço as contas componente a componente:
Para R_2:
2x - 3y + z + 3t - 2(x + y + z - t)
= 2x - 3y + z + 3t - 2x - 2y - 2z + 2t
= (-3y -2y) + (z -2z) + (3t+2t) = -5y - z + 5t.
No termo independente: 1 - 2\cdot 2 = 1 - 4 = -3.
Logo R_2 vira:
R_2:\\\ 0\cdot x -5y - z + 5t = -3.
Para R_3:
-2x - y + 3z + 2t + 2(x + y + z - t)
= -2x - y + 3z + 2t + 2x + 2y + 2z - 2t
= (-y + 2y) + (3z+2z) + (2t-2t) = y + 5z + 0\cdot t.
No termo independente: -1 + 2\cdot 2 = -1 +4 = 3.
Logo R_3 vira:
R_3:\\\ 0\cdot x + y + 5z + 0\cdot t = 3.
Agora o sistema está:
R_1:\\ x + y + z - t = 2,
R_2:\\\ -5y - z + 5t = -3,
R_3:\\ y + 5z = 3.
Comentário: o objetivo dessas operações é obter uma matriz triangular que facilite a resolução por substituição.
Passo 5
Melhorar o pivô para a variável y: R_3 tem coeficiente 1 em y, o que é ótimo. Vou trocar R_2 e R_3 para colocar esse pivô na segunda linha (tornar a forma escalonada limpa).
Troca de linhas R_2 \leftrightarrow R_3. O sistema fica:
R_1:\\ x + y + z - t = 2,
R_2:\\ y + 5z = 3,
R_3:\\\ -5y - z + 5t = -3.
Passo 6
Zerar o coeficiente de y em R_1 e em R_3 usando R_2.
Operações:
R_1 \leftarrow R_1 - R_2.
R_3 \leftarrow R_3 + 5R_2.
Calculemos:
Para R_1:
(x + y + z - t) - (y + 5z) = x + (y-y) + (z-5z) - t = x -4z - t.
Termo independente: -3 + 5\cdot 3 = -3 +15 = 12.
Então
R_3:\\\ 24z + 5t = 12.
Agora o sistema está em forma bem escalonada:
R_1:\\ x - 4z - t = -1,
R_2:\\ y + 5z = 3,
R_3:\\\ 24z + 5t = 12.
Passo 7
Interpretando a última equação: R_3 envolve apenas z e t. Como temos mais incógnitas do que equações, é natural escolher uma incógnita livre (parâmetro). Uma escolha comum é tomar t como parâmetro livre, digamos t = s, onde s\in\mathbb{R}. Vou explicar o porquê: o posto (número de pivôs não nulos) é 3, menor que o número de incógnitas 4, então a solução terá 4-3=1 grau de liberdade; escolher t como parâmetro é uma opção simples.
z = \frac{12}{24} - \frac{5}{24}s = \frac{1}{2} - \frac{5}{24}s.
Explicação didática: dividiu-se a equação por 24 para isolar z; sempre que uma equação é linear em duas variáveis, podemos expressar uma em função da outra.
Passo 8
Agora uso z em R_2 para obter y. R_2 é:
y + 5z = 3.
Substituindo z = \dfrac{1}{2} - \dfrac{5}{24}s:
y + 5\left(\frac{1}{2} - \frac{5}{24}s\right) = 3.
Combine os termos em s: \frac{5}{6}s - s = -\frac{1}{6}s.
Assim:
x - 2 - \frac{1}{6}s = -1.
Isolando x:
x = -1 + 2 + \frac{1}{6}s = 1 + \frac{1}{6}s.
Verificação rápida (opcional na prova): pode-se substituir essas expressões de volta nas equações originais para checar consistência; os cálculos feitos são equivalentes às operações elementares realizadas, portanto a solução é consistente.
Passo 10
Resumo final das incógnitas em termos do parâmetro s (que é justamente t):
t = s,
z = \frac{1}{2} - \frac{5}{24}s,
y = \frac{1}{2} + \frac{25}{24}s,
x = 1 + \frac{1}{6}s.
Forma vetorial (útil para ver a solução particular + direção do espaço solução):
Dica prática para prova: se quiser números inteiros nos coeficientes paramétricos, escolha s múltiplo de 24 (ex.: s=24u) e reescreva em termos de u; normalmente a forma fracionária é aceitável e mais direta.]