e pede para encontrar uma forma escalonada dessa matriz.
Informações relevantes fornecidas:
A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas.
Deve-se produzir uma matriz equivalente a A obtida por operações elementares de linha, de modo que ela esteja em forma escalonada (ou seja, zeros abaixo dos pivôs e cada pivô mais à direita que o da linha acima).]
Passo 2
O que é uma forma escalonada (breve explicação didática)?
Uma matriz está em forma escalonada por linhas (row-echelon form) quando:
Todas as linhas nulas (se existirem) aparecem abaixo das linhas não nulas.
O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha não nula fica à direita do pivô da linha anterior.
Abaixo de cada pivô todos os elementos são zero.
Operações elementares permitidas (que preservam o conjunto de soluções quando a matriz representa um sistema):
Trocar duas linhas.
Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
Somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
Essas são as ferramentas que usaremos para escalonar A.
Passo 3
Vamos escolher como primeiro pivô o elemento \,7 na posição (1,1). O objetivo imediato é zerar o elemento abaixo dele (posição (2,1), que vale 5). Para zerar usamos a operação
R_2 \leftarrow R_2 - \frac{5}{7}R_1.
Agora calculamos cada entrada da nova segunda linha elemento a elemento.
Para a entrada (2,1):
5 - \frac{5}{7}\cdot 7 = 5 - 5 = 0.
Para a entrada (2,2):
5 - \frac{5}{7}\cdot 3 = 5 - \frac{15}{7}.
Para efetuar essa subtração escrevemos 5=\dfrac{35}{7}, então
\dfrac{35}{7} - \dfrac{15}{7} = \dfrac{20}{7}.
Para a entrada (2,3):
1 - \frac{5}{7}\cdot 1 = 1 - \frac{5}{7}.
Escrevendo 1=\dfrac{7}{7}, obtemos
\dfrac{7}{7} - \dfrac{5}{7} = \dfrac{2}{7}.
Passo 4
Substituindo a nova segunda linha na matriz, obtemos (apenas calculando, ainda sem escalar linhas adicionais):
Essa matriz já satisfaz a definição de forma escalonada: o pivô da primeira linha está em coluna 1 e abaixo dele há zero; a segunda linha tem pivô (primeiro elemento não nulo) em coluna 2. Portanto estamos em forma escalonada.
Ainda assim, é comum limpar frações para deixar a matriz com entradas mais simples (opcional). Podemos, por exemplo, multiplicar a segunda linha por 7 (operação permitida: multiplicar uma linha por escalar não nulo) para eliminar os denominadores.]
que é uma forma escalonada equivalente a A com entradas inteiras.]
Passo 6
Observação extra (opcional, para aprendizado): se quisermos uma forma escalonada com pivôs iguais a 1 (às vezes útil), podemos dividir cada linha pelo seu pivô. Por exemplo:
Dividir R_1 por 7 dá R_1=(1,\tfrac{3}{7},\tfrac{1}{7}).
Dividir R_2 por 20 (na matriz com entradas inteiras) dá R_2=(0,1,\tfrac{1}{10}).
Isso leva à forma escalonada com pivôs unitários