Ache uma forma escalonada para cada uma das seguintes matrizes:
A=\left(\begin{array}{lll}7 & 3 & 1 \\\\ 5 & 5 & 1\end{array}\right).

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\left(\begin{array}{ccc}7 & 3 & 1 \\[4pt] 5 & 5 & 1\end{array}\right)
e pede para encontrar uma forma escalonada dessa matriz.
Informações relevantes fornecidas:
  • A matriz A tem 2 linhas e 3 colunas.
  • Deve-se produzir uma matriz equivalente a A obtida por operações elementares de linha, de modo que ela esteja em forma escalonada (ou seja, zeros abaixo dos pivôs e cada pivô mais à direita que o da linha acima).]

Passo 2

O que é uma forma escalonada (breve explicação didática)?
  • Uma matriz está em forma escalonada por linhas (row-echelon form) quando:
    1. Todas as linhas nulas (se existirem) aparecem abaixo das linhas não nulas.
    2. O primeiro elemento não nulo (pivô) de cada linha não nula fica à direita do pivô da linha anterior.
    3. Abaixo de cada pivô todos os elementos são zero.
  • Operações elementares permitidas (que preservam o conjunto de soluções quando a matriz representa um sistema):
    1. Trocar duas linhas.
    2. Multiplicar uma linha por um escalar não nulo.
    3. Somar a uma linha um múltiplo escalar de outra linha.
      Essas são as ferramentas que usaremos para escalonar A.

Passo 3

Vamos escolher como primeiro pivô o elemento \,7 na posição (1,1). O objetivo imediato é zerar o elemento abaixo dele (posição (2,1), que vale 5). Para zerar usamos a operação
R_2 \leftarrow R_2 - \frac{5}{7}R_1.
Agora calculamos cada entrada da nova segunda linha elemento a elemento.
Para a entrada (2,1):
5 - \frac{5}{7}\cdot 7 = 5 - 5 = 0.
Para a entrada (2,2):
5 - \frac{5}{7}\cdot 3 = 5 - \frac{15}{7}.
Para efetuar essa subtração escrevemos 5=\dfrac{35}{7}, então
\dfrac{35}{7} - \dfrac{15}{7} = \dfrac{20}{7}.
Para a entrada (2,3):
1 - \frac{5}{7}\cdot 1 = 1 - \frac{5}{7}.
Escrevendo 1=\dfrac{7}{7}, obtemos
\dfrac{7}{7} - \dfrac{5}{7} = \dfrac{2}{7}.

Passo 4

Substituindo a nova segunda linha na matriz, obtemos (apenas calculando, ainda sem escalar linhas adicionais):
\left(\begin{array}{ccc} 7 & 3 & 1\\[4pt] 0 & \dfrac{20}{7} & \dfrac{2}{7} \end{array}\right).
Essa matriz já satisfaz a definição de forma escalonada: o pivô da primeira linha está em coluna 1 e abaixo dele há zero; a segunda linha tem pivô (primeiro elemento não nulo) em coluna 2. Portanto estamos em forma escalonada.
Ainda assim, é comum limpar frações para deixar a matriz com entradas mais simples (opcional). Podemos, por exemplo, multiplicar a segunda linha por 7 (operação permitida: multiplicar uma linha por escalar não nulo) para eliminar os denominadores.]

Passo 5

Aplicando
R_2 \leftarrow 7\cdot R_2
temos:
R_2 = 7\cdot\left(0,\; \dfrac{20}{7},\; \dfrac{2}{7}\right) = (0,\;20,\;2).
A matriz fica então
\left(\begin{array}{ccc} 7 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 20 & 2 \end{array}\right),
que é uma forma escalonada equivalente a A com entradas inteiras.]

Passo 6

Observação extra (opcional, para aprendizado): se quisermos uma forma escalonada com pivôs iguais a 1 (às vezes útil), podemos dividir cada linha pelo seu pivô. Por exemplo:
  • Dividir R_1 por 7 R_1=(1,\tfrac{3}{7},\tfrac{1}{7}).
  • Dividir R_2 por 20 (na matriz com entradas inteiras) dá R_2=(0,1,\tfrac{1}{10}).
    Isso leva à forma escalonada com pivôs unitários
\left(\begin{array}{ccc} 1 & \dfrac{3}{7} & \dfrac{1}{7}\\[6pt] 0 & 1 & \dfrac{1}{10} \end{array}\right),
que é ainda mais normalizada (é quase a forma reduzida por linhas, faltando zerar acima do pivô da segunda linha).]

Resposta

\left(\begin{array}{ccc} 7 & 3 & 1\\[4pt] 0 & 20 & 2 \end{array}\right)]

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