Resolver os seguintes sistemas de equações lineares: \left\{\begin{aligned} x-y & =4 \\\\ 5 x+3 y+4 z & =5 \\\ x+3 y+2 z & =3 .\end{aligned}\right.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema linear de três equações e três incógnitas. As equações dadas são:
\begin{cases} x - y = 4,\\[4pt] 5x + 3y + 4z = 5,\\[4pt] x + 3y + 2z = 3. \end{cases}
Informações relevantes fornecidas:
São três incógnitas: x, y e z.
São três equações lineares (possíveis resultados: uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução).
O objetivo é encontrar todos os valores de x,y,z que satisfazem simultaneamente as três equações.]
Passo 2
Estratégia escolhida: método da substituição (é simples e direto aqui porque a primeira equação já isola x de forma fácil).
Da primeira equação x - y = 4 isolamos x:
x = y + 4.
Explicando rápido: isolar uma variável significa escrevê-la em função das outras; depois substitui-se essa expressão nas demais equações para reduzir o número de incógnitas. É um procedimento padrão e eficiente quando uma equação já é simples.
Passo 3
Substituir x = y + 4 na segunda equação 5x + 3y + 4z = 5. Fazendo a substituição:
5(y+4) + 3y + 4z = 5.
Agora desenvolver os parênteses e combinar termos semelhantes:
Agora temos o sistema reduzido de duas equações em y\) e \(z\):
\[\begin{cases} 8y + 4z = -15,\\[4pt] 4y + 2z = -1. \end{cases}
Uma observação importante: a segunda equação do sistema reduzido é exatamente metade dos coeficientes da primeira (ou seja, multiplicando a segunda por 2\] obtemos \(8y+4z do mesmo lado esquerdo). Vamos multiplicar a segunda por 2 para comparar:
Essas duas iguais formas do lado esquerdo implicam que, se existisse solução, o mesmo combinação 8y+4z deveria ser simultaneamente igual a -15 e a -2, o que é impossível.]
Passo 6
Conclusão a partir da contradição: o sistema reduzido apresenta duas equações incompatíveis (mesmo lado esquerdo, constantes diferentes). Em álgebra linear, isso é sinal de um sistema inconsistente — durante o processo de eliminação apareceria uma equação do tipo 0 = c com c\neq 0. Portanto não existe nenhum par (y,z) que satisfaça ambas as equações reduzidas, e por consequência não existe nenhum triplo (x,y,z) que satisfaça o sistema original.
Interpretação geométrica breve (útil para prova): cada equação representa um plano no espaço \mathbb{R}^3. Aqui os três planos não têm um ponto comum; a interseção das primeiras duas (ou de qualquer par) não é compatível com a terceira — resultando em sistema sem solução.