- Ache uma fórmula para calcular a soma:
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que encontrar uma fórmula para a soma da série infinita:
onde $ |x| < 1 $. Isso está relacionado ao estudo de séries geométricas e suas propriedades. Vamos precisar usar um pouco de cálculo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nosso trabalho. Observe que podemos fatorar o 2 fora da soma:
Isso já deixa a série mais clara para manipularemos em seguida.
Passo 3
Agora, vamos reescrever o termo $ x^{2n-1} $ de uma forma que nos ajude a relacionar com uma série geométrica conhecida. Podemos escrever $ x^{2n-1} $ como $ x^{-1} \cdot x^{2n} $. Assim, a série fica:
Isso nos permite focar na soma $ \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{2n} $, que é uma série que conhecemos como uma série geométrica com termo geral envolvendo $ n $.
Passo 4
Sabemos que a soma da série geométrica padrão é:
E se derivarmos ambos os lados em relação a $ x $, obtemos:
Multiplicando ambos os lados por $ x $, temos:
No nosso caso, a série é $ \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{2n} $. Podemos fazer uma substituição $ y = x^2 $ para adaptar a fórmula:
Substituindo de volta $ y = x^2 $:
Passo 5
Agora, voltando à nossa expressão original:
Resposta
A soma da série é: