1. Ache uma fórmula para calcular a soma:
    sumn=1^+infty 2 n x^2 n-1, para |x|<1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que encontrar uma fórmula para a soma da série infinita:
sumn=1^+infty 2n x^2n-1
onde $ |x| < 1 $. Isso está relacionado ao estudo de séries geométricas e suas propriedades. Vamos precisar usar um pouco de cálculo para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série para facilitar nosso trabalho. Observe que podemos fatorar o 2 fora da soma:
2 sumn=1^+infty n x^2n-1
Isso já deixa a série mais clara para manipularemos em seguida.

Passo 3

Agora, vamos reescrever o termo $ x^{2n-1} $ de uma forma que nos ajude a relacionar com uma série geométrica conhecida. Podemos escrever $ x^{2n-1} $ como $ x^{-1} \cdot x^{2n} $. Assim, a série fica:
x^2n-1
Isso nos permite focar na soma $ \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{2n} $, que é uma série que conhecemos como uma série geométrica com termo geral envolvendo $ n $.

Passo 4

Sabemos que a soma da série geométrica padrão é:
sumn=0^+infty x^n = 11 - x para |x| < 1
E se derivarmos ambos os lados em relação a $ x $, obtemos:
x
Multiplicando ambos os lados por $ x $, temos:
sumn=1^+infty n x^n-1 = 1(1 - x)^2
No nosso caso, a série é $ \sum_{n=1}^{+\infty} n x^{2n} $. Podemos fazer uma substituição $ y = x^2 $ para adaptar a fórmula:
x
Substituindo de volta $ y = x^2 $:
sumn=1^+infty n x^n = x(1 - x)^2

Passo 5

Agora, voltando à nossa expressão original:
2x^-1 sumn=1^+infty n x^2n = 2x^-1 cdot x^2(1 - x^2)^2 = 2x(1 - x^2)^2

Resposta

A soma da série é:
2x(1 - x^2)^2

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