1. Ache uma fórmula para calcular a soma:
    sumn=0^+infty x^n+2, para |x|<1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma fórmula para calcular a soma da série infinita sumn=0^+infty x^n+2, onde |x| < 1. Isso envolve trabalhar com séries geométricas, que são somas de termos que seguem uma progressão multiplicativa. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observa que cada termo da série é x^n+2. Podemos reescrever isso como x^2 cdot x^n. Assim, a série fica:
sumn=0^+infty x^n+2 = x^2 sumn=0^+infty x^n

Passo 3

Agora, vamos focar na parte sumn=0^+infty x^n. Essa é uma série geométrica clássica, cuja soma a infinito é conhecida. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita, onde cada termo é multiplicado por uma razão x, é:
sumn=0^+infty x^n = 11 - x, para |x| < 1

Passo 4

Vamos substituir essa fórmula na nossa expressão original. Ficamos com:
sumn=0^+infty x^n+2 = x^2 cdot 11 - x
Simplificando, temos:
sumn=0^+infty x^n+2 = x^21 - x

Resposta

A fórmula para calcular a soma é:
sumn=0^+infty x^n+2 = x^21 - x, para |x| < 1

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