- Ache uma fórmula para calcular a soma:
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa encontrar uma fórmula para calcular a soma da série infinita
, onde
. Isso envolve trabalhar com séries geométricas, que são somas de termos que seguem uma progressão multiplicativa. Para resolver isso, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da soma. Observa que cada termo da série é
. Podemos reescrever isso como
. Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos focar na parte
. Essa é uma série geométrica clássica, cuja soma a infinito é conhecida. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita, onde cada termo é multiplicado por uma razão
, é:
Passo 4
Vamos substituir essa fórmula na nossa expressão original. Ficamos com:
Simplificando, temos:
Resposta
A fórmula para calcular a soma é: