Exercícios Propostos
  1. Para cada item abaixo, faça o seguinte:
  • ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f.
  • Escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência.
  • Ache o domínio de f^prime.
    f(x)=sumn=1^+infty x^nraizn

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências que define uma função $ f(x) $. Nosso objetivo é:
  1. Encontrar o raio de convergência dessa série e determinar o domínio de $ f $.
  2. Escrever a série de potências que representa a derivada de $ f $, ou seja, $ f’ $, e achar o raio de convergência dessa nova série.
  3. Determinar o domínio de $ f’ $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências, como encontrar o raio de convergência usando o critério da raiz ou da razão, além de saber derivar séries de potências termo a termo.

Passo 2

Primeiro, vamos dar uma olhada na série que define $ f(x) $:
f(x)
Para encontrar o raio de convergência dessa série, vamos usar o Critério da Razão. Esse método é útil para séries de potências e nos ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge.
O Critério da Razão diz que:
f(x) = sumn=1^+infty x^nraizn
onde $ a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} $.
Vamos calcular:
x
Então, o raio de convergência $ R $ é 1.

Passo 3

Agora que sabemos que o raio de convergência é 1, isso significa que a série converge para $ |x| < 1 $. Portanto, o domínio de $ f $ é:
|x| < 1 í

Passo 4

Vamos agora derivar a série de potências termo a termo para encontrar $ f’(x) $. A regra aqui é simples: quando derivamos $ x^n $, a derivada é $ n x^{n-1} $.
Então, derivando cada termo da série original:
f'(x)
Para simplificar a notação, podemos reindexar a série substituindo $ n-1 $ por $ k $:
x^n

Passo 5

Agora, precisamos encontrar o raio de convergência da série de $ f’(x) $. Vamos aplicar novamente o Critério da Razão:
Os novos coeficientes são $ b_k = \sqrt{k+1} $.
Então,
f'(x)
Portanto, o raio de convergência de $ f’(x) $ também é 1.

Passo 6

Com o raio de convergência de $ f’(x) $ sendo 1, concluímos que a série para $ f’(x) $ converge para $ |x| < 1 $. Assim, o domínio de $ f’ $ é o mesmo que o de $ f $:
f'(x) í

Resposta

  • Raio de convergência de $ f(x) $: 1
  • Domínio de $ f(x) $: $ |x| < 1 $
  • Série de potências para $ f’(x) $:
f(x)
  • Raio de convergência de $ f’(x) $: 1
  • Domínio de $ f’(x) $: $ |x| < 1 $

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