Exercícios Propostos
- Para cada item abaixo, faça o seguinte:
- ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de
.
- Escreva a série de potências que define a função
e ache seu raio de convergência.
- Ache o domínio de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é uma série de potências que define uma função $ f(x) $. Nosso objetivo é:
- Encontrar o raio de convergência dessa série e determinar o domínio de $ f $.
- Escrever a série de potências que representa a derivada de $ f $, ou seja, $ f’ $, e achar o raio de convergência dessa nova série.
- Determinar o domínio de $ f’ $.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries de potências, como encontrar o raio de convergência usando o critério da raiz ou da razão, além de saber derivar séries de potências termo a termo.
Passo 2
Primeiro, vamos dar uma olhada na série que define $ f(x) $:
Para encontrar o raio de convergência dessa série, vamos usar o Critério da Razão. Esse método é útil para séries de potências e nos ajuda a determinar para quais valores de $ x $ a série converge.
O Critério da Razão diz que:
onde $ a_n = \frac{1}{\sqrt{n}} $.
Vamos calcular:
Então, o raio de convergência $ R $ é 1.
Passo 3
Agora que sabemos que o raio de convergência é 1, isso significa que a série converge para $ |x| < 1 $. Portanto, o domínio de $ f $ é:
Passo 4
Vamos agora derivar a série de potências termo a termo para encontrar $ f’(x) $. A regra aqui é simples: quando derivamos $ x^n $, a derivada é $ n x^{n-1} $.
Então, derivando cada termo da série original:
Para simplificar a notação, podemos reindexar a série substituindo $ n-1 $ por $ k $:
Passo 5
Agora, precisamos encontrar o raio de convergência da série de $ f’(x) $. Vamos aplicar novamente o Critério da Razão:
Os novos coeficientes são $ b_k = \sqrt{k+1} $.
Então,
Portanto, o raio de convergência de $ f’(x) $ também é 1.
Passo 6
Com o raio de convergência de $ f’(x) $ sendo 1, concluímos que a série para $ f’(x) $ converge para $ |x| < 1 $. Assim, o domínio de $ f’ $ é o mesmo que o de $ f $:
Resposta
- Raio de convergência de $ f(x) $: 1
- Domínio de $ f(x) $: $ |x| < 1 $
- Série de potências para $ f’(x) $:
- Raio de convergência de $ f’(x) $: 1
- Domínio de $ f’(x) $: $ |x| < 1 $