Exercícios Propostos
  1. Para cada item abaixo, faça o seguinte:
  • ache o raio de convergência da série de potências dada e o domínio de f.
  • Escreva a série de potências que define a função f^prime e ache seu raio de convergência.
  • Ache o domínio de f^prime.
    f(x)=sumn=1^+infty(n+1)(3 x-1)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar a série de potências dada por $ f(x) = \sum_{n=1}^{+\infty} (n+1)(3x - 1)^n $. A matéria envolvida aqui é sobre séries de potências, raio de convergência e domínio das funções definidas por essas séries. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão para encontrar o raio de convergência, e entender como derivar série por série para achar $ f’ $.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o raio de convergência da série $ f(x) $. Para isso, usamos o Teste da Razão, que ajuda a descobrir para quais valores de $ x $ a série converge.
A série é $ \sum_{n=1}^{+\infty} (n+1)(3x - 1)^n $.
Aplicando o Teste da Razão:
f(x)
Para a série convergir, precisamos que $ L < 1 $:
x

Passo 3

Agora, vamos resolver a inequação $ |3x - 1| < 1 $ para encontrar o domínio de $ f(x) $:
|3x - 1| < 1
Somando 1 em todas as partes:
f(x)
Dividindo por 3:
-1 < 3x - 1 < 1
Então, o raio de convergência $ R $ é $ \frac{1}{3} $ (porque $ R = \frac{1}{coeficiente de x} $), e o domínio de $ f $ é $ x \in \left( \frac{0}{3}, \frac{2}{3} \right) $, ou seja, $ 0 < x < \frac{2}{3} $.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a série que define a derivada $ f’(x) $. Para derivar termo a termo, diferenciamos cada termo da série original:
f'(x)
Derivando:
f(x) = sumn=1^+infty (n+1)(3x - 1)^n
Simplificando:
f'(x) = sumn=1^+infty (n+1) cdot n cdot 3 cdot (3x - 1)^n-1

Passo 5

Agora, vamos determinar o raio de convergência da série de $ f’(x) $. Observando a nova série:
f'(x)
Podemos ver que o comportamento da série em termos de $ x $ é similar à série original, já que a presença de $ n(n+1) $ não altera o raio de convergência. Portanto, o raio de convergência de $ f’(x) $ também é $ \frac{1}{3} $.

Passo 6

Finalmente, vamos encontrar o domínio de $ f’(x) $. Como o raio de convergência é o mesmo da série original, o domínio também é igual:
f'(x)

Resposta

  • Raio de convergência de $ f(x) $: $ \frac{1}{3} $
  • Domínio de $ f(x) $: $ 0 < x < \frac{2}{3} $
  • Raio de convergência de $ f’(x) $: $ \frac{1}{3} $
  • Domínio de $ f’(x) $: $ 0 < x < \frac{2}{3} $

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