Ache uma fórmula para calcular a soma:
, para
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar uma expressão fechada para a soma da série infinita
no intervalo de convergência
. O conteúdo principal é séries de potências (no caso, a série geométrica) e a técnica de derivação termo a termo dentro do raio de convergência.
Passo 2
Lembramos que, para
, a soma da série geométrica é
Como séries de potências podem ser diferenciadas termo a termo em
Para chegar à soma desejada
, basta multiplicar a série acima por
, pois o termo
é zero:
$$
x\sum_{n=1}^{\infty}n x{n-1}=\sum_{n=1}{\infty}n xn=\sum_{n=0}{\infty}n x^n
\sum_{n=0}^{\infty}n xn=\frac{x}{(1-x)2}$$