Ache uma fórmula para calcular a soma:
sumn=0^+infty n x^n, para |x|<1.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma expressão fechada para a soma da série infinita sumn=0^inftyn x^n no intervalo de convergência |x|<1. O conteúdo principal é séries de potências (no caso, a série geométrica) e a técnica de derivação termo a termo dentro do raio de convergência.

Passo 2

Lembramos que, para |x|<1, a soma da série geométrica é
sumn=0^inftyx^n=11-x
Como séries de potências podem ser diferenciadas termo a termo em |x|<1, derivamos ambos os lados em relação a x:
ddxl(sumn=0^inftyx^nr)=sumn=1^inftyn x^n-1=ddxl(11-xr)=1(1-x)^2
Para chegar à soma desejada sumn=0^inftyn x^n, basta multiplicar a série acima por x, pois o termo n=0 é zero:
$$
x\sum_{n=1}^{\infty}n x{n-1}=\sum_{n=1}{\infty}n xn=\sum_{n=0}{\infty}n x^n xsumn=1^inftyn x^n-1=sumn=1^inftyn x^n=sumn=0^inftyn x^n\sum_{n=0}^{\infty}n xn=\frac{x}{(1-x)2}$$

Resposta

sumn=0^inftyn x^n=x(1-x)^2, |x|<1

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