Ache uma fórmula para calcular a soma:
, para
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma fórmula para calcular a soma da série infinita
, onde
. Isso está relacionado ao estudo de séries geométricas, que são somas de termos envolvendo potências de uma variável. Vamos usar algumas propriedades das séries geométricas para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a série que temos:
. Podemos reescrever isso para facilitar a manipulação. Perceba que
. Assim, a série fica:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita. Para
, a soma é dada por:
No nosso caso,
, então temos:
Passo 4
Substituindo essa fórmula na expressão que obtivemos no Passo 2, temos:
Resposta
A fórmula para calcular a soma é: