Ache uma fórmula para calcular a soma:
sumn=0^+infty x^n+2, para |x|<1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar uma fórmula para calcular a soma da série infinita sumn=0^+infty x^n+2, onde |x| < 1. Isso está relacionado ao estudo de séries geométricas, que são somas de termos envolvendo potências de uma variável. Vamos usar algumas propriedades das séries geométricas para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a série que temos: sumn=0^+infty x^n+2. Podemos reescrever isso para facilitar a manipulação. Perceba que x^n+2 = x^2 cdot x^n. Assim, a série fica:
sumn=0^+infty x^n+2 = x^2 sumn=0^+infty x^n

Passo 3

Agora, vamos lembrar da fórmula da soma de uma série geométrica infinita. Para |r| < 1, a soma é dada por:
sumn=0^+infty r^n = 11 - r
No nosso caso, r = x, então temos:
sumn=0^+infty x^n = 11 - x

Passo 4

Substituindo essa fórmula na expressão que obtivemos no Passo 2, temos:
sumn=0^+infty x^n+2 = x^2 cdot 11 - x

Resposta

A fórmula para calcular a soma é:
sumn=0^+infty x^n+2 = x^21 - x

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