Ache uma fórmula para calcular a soma:
sumn=1^+infty 2 n x^2 n-1, para |x|<1.

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos achar uma fórmula fechada para a soma sumn=1^infty2n,x^2n-1 quando |x|<1. O conteúdo envolve séries de potências, soma de uma série geométrica e derivação termo a termo.

Passo 2

Percebemos que a derivada de x^2n é exatamente 2n,x^2n-1. Logo, podemos escrever
sumn=1^infty2n,x^2n-1=ddxsumn=1^inftyx^2n

Passo 3

Para |x|<1, a série geométrica de termo geral x^2n (começando em n=1) tem soma
sumn=1^inftyx^2n=x^21-x^2

Passo 4

Agora derivamos essa expressão em relação a x:
ddxl(x^21-x^2r) =(2x)(1-x^2)-x^2(-2x)(1-x^2)^2 =2x-2x^3+2x^3(1-x^2)^2 =2x(1-x^2)^2

Resposta

sumn=1^infty2n,x^2n-1=2x(1-x^2)^2, |x|<1

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