- (a) Obtenha uma representação em série de potências para
usar
Passo 1
O enunciado pede para obter a série de potências de
Esse conteúdo envolve expansão em séries geométricas e o produto de duas séries de potências (produto de Cauchy). Vamos usar a fórmula da série geométrica e a regra de produto de séries para encontrar os coeficientes.
Passo 2
Primeiro, lembramos que, para |x|<1/2, a série geométrica dá
e que, para |x|<1,
Aqui usamos que
.
Passo 3
Para multiplicar as duas séries usamos o produto de Cauchy: se
e
, então
No nosso caso
e
.
Passo 4
Assim, o coeficiente
de
em
vale
e essa soma de progressão geométrica é
Passo 5
Portanto a expansão em série de potências é
e converge para |x|<1/2.