1. (a) Obtenha uma representação em série de potências para 11-2 x cdot 11-x usar

Passo 1

O enunciado pede para obter a série de potências de
11-2xcdot11-x
Esse conteúdo envolve expansão em séries geométricas e o produto de duas séries de potências (produto de Cauchy). Vamos usar a fórmula da série geométrica e a regra de produto de séries para encontrar os coeficientes.

Passo 2

Primeiro, lembramos que, para |x|<1/2, a série geométrica dá
11-2x=sumn=0^infty2^n x^n
e que, para |x|<1,
11-x=sumn=0^infty1cdot x^n=sumn=0^inftyx^n
Aqui usamos que 1/(1-r)=sumn=0^infty r^n.

Passo 3

Para multiplicar as duas séries usamos o produto de Cauchy: se
A(x)=sumn=0^infty an x^n e B(x)=sumn=0^infty bn x^n, então
A(x)B(x)=sumn=0^inftyl(sumk=0^n ak bn-kr)x^n
No nosso caso ak=2^k e bk=1.

Passo 4

Assim, o coeficiente cn de x^n em 11-2x,11-x vale
cn=sumk=0^n2^k=1+2+2^2+cdots+2^n
e essa soma de progressão geométrica é
sumk=0^n2^k=2^n+1-12-1=2^n+1-1

Passo 5

Portanto a expansão em série de potências é
11-2xcdot11-x=sumn=0^infty(2^n+1-1)x^n,
e converge para |x|<1/2.

Resposta

sumn=0^infty(2^n+1-1)x^n, para |x|<\tfrac12.

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