Ache a fórmula fechada para o produto
(1-12)(1-13)(1-14) cdots(1-1n)
para inteiros n >= 2 e prove seu resultado por indução matemática.

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar uma fórmula fechada para o produto
(1-12)(1-13)(1-14) cdots(1-1n)
Isso envolve conceitos de produtos telescópicos e indução matemática. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar produtos onde muitos termos se cancelam e como provar nossa fórmula usando a indução.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar cada termo do produto. Observe que:
1 - 1k = k - 1k
Então, o produto pode ser reescrito como:
prodk=2^n (1 - 1k) = prodk=2^n k - 1k

Passo 3

Agora, vamos escrever os termos do produto separadamente para identificar possíveis cancelamentos:
12 times 23 times 34 times cdots times n - 1n
Perceba que o numerador de cada fração (exceto o primeiro) cancela com o denominador da fração seguinte.

Passo 4

Após os cancelamentos, restam apenas o numerador do primeiro termo e o denominador do último termo:
1n
Portanto, a fórmula fechada do produto é 1n.

Passo 5

Agora, vamos provar essa fórmula usando indução matemática.
Primeiro, verificamos o caso base: n = 2.
O produto é:
1 - 12 = 12
E nossa fórmula também dá 12, então está correto.

Passo 6

Agora, assumimos que para algum inteiro k >= 2, a fórmula funciona, ou seja:
prodi=2^k (1 - 1i) = 1k
Queremos mostrar que para k + 1, a fórmula também funciona:
prodi=2^k+1 (1 - 1i) = 1k + 1

Passo 7

Calculando o produto para k + 1:
( prodi=2^k (1 - 1i) ) times (1 - 1k+1) = 1k times kk+1 = 1k+1
Portanto, a fórmula funciona para k + 1 se funciona para k.

Resposta

A fórmula fechada para o produto é 1n.

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