Ache a fórmula fechada para o produto
para inteiros
e prove seu resultado por indução matemática.
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: precisamos encontrar uma fórmula fechada para o produto
Isso envolve conceitos de produtos telescópicos e indução matemática. Para resolver, vamos precisar entender como simplificar produtos onde muitos termos se cancelam e como provar nossa fórmula usando a indução.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar cada termo do produto. Observe que:
Então, o produto pode ser reescrito como:
Passo 3
Agora, vamos escrever os termos do produto separadamente para identificar possíveis cancelamentos:
Perceba que o numerador de cada fração (exceto o primeiro) cancela com o denominador da fração seguinte.
Passo 4
Após os cancelamentos, restam apenas o numerador do primeiro termo e o denominador do último termo:
Portanto, a fórmula fechada do produto é
.
Passo 5
Agora, vamos provar essa fórmula usando indução matemática.
Primeiro, verificamos o caso base:
.
O produto é:
E nossa fórmula também dá
, então está correto.
Passo 6
Agora, assumimos que para algum inteiro
, a fórmula funciona, ou seja:
Queremos mostrar que para
, a fórmula também funciona:
Passo 7
Calculando o produto para
:
Portanto, a fórmula funciona para
se funciona para
.
Resposta
A fórmula fechada para o produto é
.