Seja a sequência a1, a2, a3, cdots definida como
l a1=1 a2=3 ak=ak-2+2 ak-1, forall inteiros k >= 3
Prove por indução matemática que an é ímpar para todos inteiros n >= 1.

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma sequência onde o primeiro termo é a1 = 1, o segundo é a2 = 3, e cada termo seguinte é definido por ak = ak-2 + 2ak-1 para todo inteiro k >= 3. A matéria envolvida aqui é matemática discreta, especificamente indução matemática. Para resolver, precisamos usar o princípio da indução para provar que todo termo da sequência é ímpar.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa um número ser ímpar. Um número é ímpar se ele pode ser escrito na forma 2m + 1, onde m é um número inteiro. Nosso objetivo é mostrar que para todo n >= 1, an é ímpar.

Passo 3

A estratégia é usar indução matemática, que tem dois passos principais:
  1. Base da indução: Verificamos que a afirmação é verdadeira para os primeiros valores de n.
  2. Passo indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para n = k-2 e n = k-1 e mostramos que ela também é verdadeira para n = k.

Passo 4

Base da indução:
  • Para n = 1: a1 = 1, que é ímpar.
  • Para n = 2: a2 = 3, que também é ímpar.
    Assim, a base da indução está estabelecida.

Passo 5

Passo indutivo:
Vamos supor que para algum k >= 3, ak-2 e ak-1 são ímpares. Ou seja, existem inteiros m e n tais que:
ak-2 = 2m + 1 ak-1 = 2n + 1

Passo 6

Agora, usamos a definição da sequência para calcular ak:
ak = ak-2 + 2ak-1
Substituindo pelas expressões ímpares:
ak = (2m + 1) + 2(2n + 1) = 2m + 1 + 4n + 2 = 2(m + 2n) + 3

Passo 7

Observe que 2(m + 2n) + 3 pode ser reescrito como:
2(m + 2n + 1) + 1
Isso mostra que ak tem a forma 2p + 1, onde p = m + 2n + 1 é um inteiro. Portanto, ak é ímpar.

Resposta

Por indução matemática, mostramos que para todo inteiro n >= 1, o termo an da sequência é ímpar.

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