Prove por indução matemática que an é ímpar para todos inteiros n >= 1.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos uma sequência onde o primeiro termo é a1 = 1, o segundo é a2 = 3, e cada termo seguinte é definido por ak = ak-2 + 2ak-1 para todo inteiro k >= 3. A matéria envolvida aqui é matemática discreta, especificamente indução matemática. Para resolver, precisamos usar o princípio da indução para provar que todo termo da sequência é ímpar.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa um número ser ímpar. Um número é ímpar se ele pode ser escrito na forma 2m + 1, onde m é um número inteiro. Nosso objetivo é mostrar que para todo n >= 1, an é ímpar.
Passo 3
A estratégia é usar indução matemática, que tem dois passos principais:
Base da indução: Verificamos que a afirmação é verdadeira para os primeiros valores de n.
Passo indutivo: Assumimos que a afirmação é verdadeira para n = k-2 e n = k-1 e mostramos que ela também é verdadeira para n = k.
Passo 4
Base da indução:
Para n = 1: a1 = 1, que é ímpar.
Para n = 2: a2 = 3, que também é ímpar.
Assim, a base da indução está estabelecida.
Passo 5
Passo indutivo:
Vamos supor que para algum k >= 3, ak-2 e ak-1 são ímpares. Ou seja, existem inteiros m e n tais que:
ak-2 = 2m + 1 ak-1 = 2n + 1
Passo 6
Agora, usamos a definição da sequência para calcular ak: