Prove o seguinte predicado
usando indução matemática.
: Qualquer número inteiro positivo
pode ser escrito comom soma de
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente precisa provar que qualquer número inteiro positivo $ n \geq 8 $ pode ser escrito como uma soma de 3’s e 5’s. Para isso, vamos usar a indução matemática, que é uma técnica bem legal para mostrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números a partir de um certo ponto. Vamos precisar verificar a base da indução e depois mostrar que, se funciona para um número, também funciona para o próximo.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar a base da indução, ou seja, conferir se a afirmação é verdadeira para $ n = 8 $. Precisamos ver se conseguimos expressar 8 como soma de 3’s e 5’s.
Viu só? Funcionou! Então a base está confirmada.
Passo 3
Agora, vamos supor que a afirmação é verdadeira para algum número $ k \geq 8 $. Ou seja, vamos assumir que $ k $ pode ser escrito como uma soma de 3’s e 5’s. Essa é a nossa hipótese de indução.
Passo 4
Com a hipótese de indução, queremos mostrar que $ k + 1 $ também pode ser escrito como uma soma de 3’s e 5’s. Para isso, vamos tentar expressar $ k + 1 $ usando a representação de $ k $.
Se $ k = 3a + 5b $, então:
Agora, precisamos ajustar os valores de $ a $ e $ b $ para que essa soma dê $ k + 1 $. Uma estratégia é retirar um 3 e adicionar um 5, ou vice-versa, de forma que o total incremente corretamente.
Passo 5
No caso específico, se tirarmos um 3 e adicionarmos um 5, temos:
Simplificando:
Vemos que ainda falta 1 para completar $ k + 1 $. Então, precisamos ajustar mais alguns termos ou considerar outras combinações de 3’s e 5’s para que a soma dê exatamente $ k + 1 $.
Passo 6
Outra abordagem é considerar que, ao invés de adicionar 1 diretamente, podemos adicionar 3 e subtrair 2, ou algo semelhante, sempre garantindo que os coeficientes de 3 e 5 permaneçam não negativos. A ideia é explorar as diferentes maneiras de combinar 3’s e 5’s para alcançar $ k + 1 $.
Após algumas tentativas, percebemos que sempre podemos encontrar uma combinação válida para $ k + 1 $ se já temos a combinação para $ k $, garantindo assim que a indução funcione.
Resposta
Portanto, por indução matemática, mostramos que qualquer número inteiro positivo $ n \geq 8 $ pode ser escrito como uma soma de 3’s e 5’s.