Prove por indução matemática que
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando indução matemática, que a soma
é igual a
para todo número natural
. Pra isso, vamos usar o conceito de indução matemática, que é uma técnica poderosa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, quando
. Isso é importante porque na indução matemática a gente começa sempre por confirmar que a afirmação é verdadeira para o primeiro valor da sequência.
Para
:
E também:
Então,
, o que confirma que a afirmação é verdadeira para
.
Passo 3
Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural
, ou seja, vamos supor que:
Isso é chamado de hipótese de indução. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade para
, então também é verdade para
.
Vamos considerar a soma para
:
Pelo nosso pressuposto de indução, sabemos que:
Então, podemos substituir na soma:
Agora, vamos simplificar essa expressão:
Perceba que
pode ser reescrito como
:
Portanto:
Isso mostra que se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
.
Resposta
Como verificamos que a afirmação é verdadeira para
e que, se é verdadeira para
, também é para
, concluímos por indução matemática que para todo número natural
,