Prove por indução matemática que
a1=1 e an=n an-1, n >= 2
2 cdot 1+2 cdot 2+2 cdot 3+ldots+2 n=n^2+n, n >= 1

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa provar, usando indução matemática, que a soma 2 cdot 1 + 2 cdot 2 + 2 cdot 3 + ldots + 2n é igual a n^2 + n para todo número natural n >= 1. Pra isso, vamos usar o conceito de indução matemática, que é uma técnica poderosa para provar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais a partir de um certo ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a afirmação funciona para o caso inicial, ou seja, quando n = 1. Isso é importante porque na indução matemática a gente começa sempre por confirmar que a afirmação é verdadeira para o primeiro valor da sequência.
Para n = 1:
2 cdot 1 = 2
E também:
1^2 + 1 = 1 + 1 = 2
Então, 2 = 2, o que confirma que a afirmação é verdadeira para n = 1.

Passo 3

Agora, vamos assumir que a afirmação é verdadeira para algum número natural k, ou seja, vamos supor que:
2 cdot 1 + 2 cdot 2 + ldots + 2k = k^2 + k
Isso é chamado de hipótese de indução. Nosso objetivo é mostrar que, se isso é verdade para n = k, então também é verdade para n = k + 1.
Vamos considerar a soma para n = k + 1:
2 cdot 1 + 2 cdot 2 + ldots + 2k + 2(k + 1)
Pelo nosso pressuposto de indução, sabemos que:
2 cdot 1 + 2 cdot 2 + ldots + 2k = k^2 + k
Então, podemos substituir na soma:
k^2 + k + 2(k + 1)
Agora, vamos simplificar essa expressão:
k^2 + k + 2k + 2 = k^2 + 3k + 2
Perceba que k^2 + 3k + 2 pode ser reescrito como (k + 1)^2 + (k + 1):
(k + 1)^2 + (k + 1) = k^2 + 2k + 1 + k + 1 = k^2 + 3k + 2
Portanto:
2 cdot 1 + 2 cdot 2 + ldots + 2(k + 1) = (k + 1)^2 + (k + 1)
Isso mostra que se a afirmação é verdadeira para n = k, então também é verdadeira para n = k + 1.

Resposta

Como verificamos que a afirmação é verdadeira para n = 1 e que, se é verdadeira para n = k, também é para n = k + 1, concluímos por indução matemática que para todo número natural n >= 1,
2 cdot 1 + 2 cdot 2 + 2 cdot 3 + ldots + 2n = n^2 + n

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