Ache uma fórmula para o termo geral an de cada uma das sequências a seguir:
1,3,2,-1,-3,-2,1, ldots

Passo 1

Então, a gente tem a seguinte sequência: 1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, ldots . O objetivo aqui é encontrar uma fórmula que nos diga qual é o termo geral an dessa sequência. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de sequências periódicas e funções matemáticas que repetem padrões, como funções trigonométricas ou a função módulo. Vamos precisar identificar o padrão da sequência e expressá-lo matematicamente.

Passo 2

Primeiro, vamos observar a sequência para identificar um padrão. A sequência dada é:
1, 3, 2, -1, -3, -2, 1, ldots
Percebemos que após 6 termos, o padrão se repete:
1, 3, 2, -1, -3, -2
Isso indica que a sequência é periódica com período 6. Ou seja, a cada 6 termos, a sequência volta a começar do início.

Passo 3

Agora, queremos expressar isso matematicamente. Como a sequência se repete a cada 6 termos, podemos usar a operação de módulo para encontrar a posição dentro do período. A operação módulo nos dá o resto da divisão de n por 6, ou seja, n mod 6 .
Por exemplo:
  • Para n = 1 : 1 mod 6 = 1 → Primeiro termo: 1
  • Para n = 7 : 7 mod 6 = 1 → Primeiro termo novamente: 1

Passo 4

Precisamos agora mapear o resultado do n mod 6 para os termos correspondentes da sequência. Vamos listar os valores:
n mod 6 = 1 &Rightarrow an = 1 n mod 6 = 2 &Rightarrow an = 3 n mod 6 = 3 &Rightarrow an = 2 n mod 6 = 4 &Rightarrow an = -1 n mod 6 = 5 &Rightarrow an = -3 n mod 6 = 0 &Rightarrow an = -2

Passo 5

Para expressar isso em uma única fórmula, podemos usar uma função por partes que atribui o valor correto com base no resultado de n mod 6 . Assim, a fórmula geral para an será:
an = 1 & se n mod 6 = 1 3 & se n mod 6 = 2 2 & se n mod 6 = 3 -1 & se n mod 6 = 4 -3 & se n mod 6 = 5 -2 & se n mod 6 = 0

Resposta

A fórmula para o termo geral da sequência é:
an = 1 & se n mod 6 = 1 3 & se n mod 6 = 2 2 & se n mod 6 = 3 -1 & se n mod 6 = 4 -3 & se n mod 6 = 5 -2 & se n mod 6 = 0

Exercícios relacionados