Ache
Passo 1
Temos a equação
O que o enunciado pede é achar
. Informações relevantes que já consigo extrair:
- •a expressão
impõe , ou seja ; portanto só faz sentido derivar para ; - •a incógnita
aparece dos dois lados da igualdade, então podemos resolver algebricamente para antes de derivar (ou derivar implicitamente); - •se isolarmos
pode ficar uma expressão explícita em função de , o que facilita usar a regra do quociente e a regra da cadeia.
Passo 2
Isolo
algebricamente. Somando
aos dois lados:
Fatorando
no lado esquerdo:
Dividindo por
(para
temos
):
Passo 3
Vou derivar a expressão explícita usando a regra do quociente e a regra da cadeia. Se eu chamar
e
então
e a regra do quociente diz:
Aqui
. Vou calcular
com cuidado usando a regra da cadeia.
Passo 4
Calculo
. Escrevo
com
. A regra da cadeia dá
Agora
. Como
, temos
. Logo
Passo 5
Substituo
,
,
e
na fórmula do quociente:
Esse já é um resultado válido, mas dá para deixar mais compacto.
Passo 6
Fatoro
no numerador para simplificar a aparência. Observando que
, o numerador fica
Portanto a derivada final simplificada é
válida para
.