Ache \frac{d y}{d x}
y=\sqrt[3]{\ln (2 x)-1}-x y

Passo 1

Temos a equação
y=\sqrt[3]{\ln(2x)-1}-x\,y.
O que o enunciado pede é achar \dfrac{dy}{dx}. Informações relevantes que já consigo extrair:
  • a expressão \ln(2x) impõe 2x>0, ou seja x>0; portanto só faz sentido derivar para x>0;
  • a incógnita y aparece dos dois lados da igualdade, então podemos resolver algebricamente para y antes de derivar (ou derivar implicitamente);
  • se isolarmos y pode ficar uma expressão explícita em função de x, o que facilita usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Isolo y algebricamente. Somando x\,y aos dois lados:
y+x\,y=\sqrt[3]{\ln(2x)-1}.
Fatorando y no lado esquerdo:
y(1+x)=\sqrt[3]{\ln(2x)-1}.
Dividindo por 1+x (para x>0 temos 1+x\neq0):
y=\frac{\sqrt[3]{\ln(2x)-1}}{1+x}.

Passo 3

Vou derivar a expressão explícita usando a regra do quociente e a regra da cadeia. Se eu chamar
u(x)=\sqrt[3]{\ln(2x)-1}=(\ln(2x)-1)^{1/3}
e
v(x)=1+x,
então y=\dfrac{u}{v} e a regra do quociente diz:
\frac{dy}{dx}=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aqui v'(x)=1. Vou calcular u'(x) com cuidado usando a regra da cadeia.

Passo 4

Calculo u'(x). Escrevo u(x)=w(x)^{1/3} com w(x)=\ln(2x)-1. A regra da cadeia dá
u'(x)=\frac{1}{3}w(x)^{-2/3}\,w'(x).
Agora w'(x)=\dfrac{d}{dx}\ln(2x)-0. Como \dfrac{d}{dx}\ln(2x)=\dfrac{1}{2x}\cdot 2=\dfrac{1}{x}, temos w'(x)=\dfrac{1}{x}. Logo
u'(x)=\frac{1}{3}\,(\ln(2x)-1)^{-2/3}\cdot\frac{1}{x}=\frac{1}{3x}(\ln(2x)-1)^{-2/3}.

Passo 5

Substituo u, u', v e v' na fórmula do quociente:
\frac{dy}{dx}=\frac{\displaystyle \frac{1}{3x}(\ln(2x)-1)^{-2/3}\cdot(1+x)-(\ln(2x)-1)^{1/3}\cdot 1}{(1+x)^2}.
Esse já é um resultado válido, mas dá para deixar mais compacto.

Passo 6

Fatoro (\ln(2x)-1)^{-2/3} no numerador para simplificar a aparência. Observando que (\ln(2x)-1)^{1/3}=(\ln(2x)-1)^{-2/3}\cdot(\ln(2x)-1), o numerador fica
(\ln(2x)-1)^{-2/3}\left(\frac{1+x}{3x}-(\ln(2x)-1)\right).
Portanto a derivada final simplificada é
\frac{dy}{dx}=\frac{(\ln(2x)-1)^{-2/3}\left(\dfrac{1+x}{3x}-(\ln(2x)-1)\right)}{(1+x)^2},
válida para x>0.

Resposta

\frac{dy}{dx}=\frac{(\ln(2x)-1)^{-2/3}\left(\dfrac{1+x}{3x}-(\ln(2x)-1)\right)}{(1+x)^2}.

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