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Passo 1
O enunciado pede para calcular
para a função
Informações dadas que vamos usar mais adiante:
e
são funções trigonométricas (cosecante e cotangente) aplicadas às funções lineares
e
. A tarefa é obter a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Primeiro fazemos uma simplificação algébrica útil (isso não é resolver a derivada ainda, só escrever de forma mais prática):
portanto podemos reescrever
Isso transforma a função em um produto de duas funções de
, o que facilita usar a regra do produto.
Passo 3
Regra do produto (a ferramenta que vamos usar agora): se
então
Vou aplicar essa regra com
e
.
Passo 4
Precisamos das derivadas de
e
. Antes, lembrando as regras básicas (a pequena “aula”):
- Derivada da cosecante composta: se
, então
Aqui a parte
é a derivada de
em relação ao seu argumento, e
aparece por causa da regra da cadeia (derivada da função interna).
- Derivada da tangente composta: se
, então
Novamente
é a derivada de
do argumento e multiplicamos por
pela regra da cadeia.
Passo 5
Agora aplicamos essas fórmulas às nossas funções internas
e
.
Para :
Para
Explanação: derivada de
é
; multiplica o fator já conhecido de
.
Para
:
Explanação: derivada de
é
; multiplica
.
Passo 6
Agora aplicamos a regra do produto:
Substituindo
:
Passo 7
Fatoramos
para deixar a expressão mais compacta e clara:
Podemos reordenar os termos dentro do parêntese para ficar visualmente mais agradável: