Ache \frac{d y}{d x}
y=\frac{\operatorname{cosec}(4 x)}{\operatorname{cotg}(3 x)}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \dfrac{d y}{d x} para a função
y=\frac{\operatorname{cosec}(4x)}{\operatorname{cotg}(3x)}.
Informações dadas que vamos usar mais adiante:
\operatorname{cosec} e \operatorname{cotg} são funções trigonométricas (cosecante e cotangente) aplicadas às funções lineares 4x e 3x. A tarefa é obter a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Primeiro fazemos uma simplificação algébrica útil (isso não é resolver a derivada ainda, só escrever de forma mais prática):
\frac{1}{\operatorname{cotg}(3x)}=\tan(3x),
portanto podemos reescrever
y=\operatorname{cosec}(4x)\cdot\tan(3x).
Isso transforma a função em um produto de duas funções de x, o que facilita usar a regra do produto.

Passo 3

Regra do produto (a ferramenta que vamos usar agora): se \;y=u(x)\,v(x)\; então
\frac{dy}{dx}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Vou aplicar essa regra com u(x)=\operatorname{cosec}(4x) e v(x)=\tan(3x).

Passo 4

Precisamos das derivadas de u e v. Antes, lembrando as regras básicas (a pequena “aula”):
  • Derivada da cosecante composta: se u(x)=\operatorname{cosec}(w(x)), então
u'(x)=-\operatorname{cosec}(w(x))\;\operatorname{cotg}(w(x))\;w'(x).
Aqui a parte -\operatorname{cosec}(w)\operatorname{cotg}(w) é a derivada de \operatorname{cosec} em relação ao seu argumento, e w'(x) aparece por causa da regra da cadeia (derivada da função interna).
  • Derivada da tangente composta: se v(x)=\tan(w(x)), então
v'(x)=\operatorname{sec}^2(w(x))\;w'(x).
Novamente \operatorname{sec}^2(w) é a derivada de \tan do argumento e multiplicamos por w'(x) pela regra da cadeia.

Passo 5

Agora aplicamos essas fórmulas às nossas funções internas w(x)=4x e w(x)=3x.
Para u(x)=\operatorname{cosec}(4x):
u'(x)=-\operatorname{cosec}(4x)\operatorname{cotg}(4x)\cdot\frac{d}{dx}(4x)=-4\,\operatorname{cosec}(4x)\operatorname{cotg}(4x).
Explanação: derivada de 4x é 4; multiplica o fator já conhecido de \operatorname{cosec}.
Para v(x)=\tan(3x):
v'(x)=\operatorname{sec}^2(3x)\cdot\frac{d}{dx}(3x)=3\,\operatorname{sec}^2(3x).
Explanação: derivada de 3x é 3; multiplica \operatorname{sec}^2(3x).

Passo 6

Agora aplicamos a regra do produto:
\frac{dy}{dx}=u'(x)\,v(x)+u(x)\,v'(x).
Substituindo u,u',v,v':
\frac{dy}{dx}=\big(-4\,\operatorname{cosec}(4x)\operatorname{cotg}(4x)\big)\,\tan(3x)+\operatorname{cosec}(4x)\big(3\,\operatorname{sec}^2(3x)\big).

Passo 7

Fatoramos \operatorname{cosec}(4x) para deixar a expressão mais compacta e clara:
\frac{dy}{dx}=\operatorname{cosec}(4x)\left(-4\operatorname{cotg}(4x)\tan(3x)+3\operatorname{sec}^2(3x)\right).
Podemos reordenar os termos dentro do parêntese para ficar visualmente mais agradável:
\frac{dy}{dx}=\operatorname{cosec}(4x)\left(3\operatorname{sec}^2(3x)-4\operatorname{cotg}(4x)\tan(3x)\right).

Resposta

\displaystyle \frac{dy}{dx}=\operatorname{cosec}(4x)\left(3\operatorname{sec}^2(3x)-4\operatorname{cotg}(4x)\tan(3x)\right)

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