Ache
Passo 1
O enunciado pede para achar
da função
Informações relevantes dadas:
A função é escrita como uma razão (fração) de dois polinômios: numerador
e denominador
.\n
Precisamos da derivada em relação a
, isto é,
. Não há outras restrições explícitas no enunciado.
Passo 2
Vou primeiro tentar simplificar a expressão antes de derivar (muitas vezes é a maneira mais rápida). Note que o numerador é uma diferença de quadrados. A fórmula de diferença de quadrados é:
onde
e
são quaisquer expressões. Aqui podemos identificar
e
, pois
e
. Aplicando a fórmula:
Repare que
. Então podemos reescrever o numerador como
Passo 3
Usando a fatoração do passo anterior, a função fica
Para
(ou seja, quando
) podemos cancelar o fator comum
no numerador e no denominador, obtendo
Desenvolvendo o sinal:
Observação importante: na forma original a expressão não está definida em
porque o denominador fica zero. A simplificação mostra que a expressão vale
para todos os
diferentes de
; em
há uma descontinuidade removível na expressão dada.
Passo 4
Agora derivamos a função simplificada
— isso é muito simples porque é uma função linear. Lembrete da regra básica de derivação:
onde
e
são constantes (a derivada de uma reta é a sua inclinação). Aplicando aqui:
Portanto, para
temos
.
Passo 5
(Verificação alternativa com a regra do quociente — opcional, mas bom para treinar.)
Se usássemos a regra do quociente diretamente: seja e
. Então
e
. A regra do quociente diz
Se usássemos a regra do quociente diretamente: seja
Calculando o numerador passo a passo:
Agora observe que
Então
desde que
. Resultado coincide com a simplificação anterior.