Ache \frac{d y}{d x}
y=\frac{9-16 x^{2}}{4 x-3}

Passo 1

O enunciado pede para achar \frac{d y}{d x} da função
y=\frac{9-16 x^{2}}{4 x-3}.
Informações relevantes dadas:
\;1. A função é escrita como uma razão (fração) de dois polinômios: numerador 9-16x^{2} e denominador 4x-3.\n
\;2. Precisamos da derivada em relação a x, isto é, \frac{d y}{d x}. Não há outras restrições explícitas no enunciado.

Passo 2

Vou primeiro tentar simplificar a expressão antes de derivar (muitas vezes é a maneira mais rápida). Note que o numerador é uma diferença de quadrados. A fórmula de diferença de quadrados é:
a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b),
onde a e b são quaisquer expressões. Aqui podemos identificar a=3 e b=4x, pois 9=3^{2} e 16x^{2}=(4x)^{2}. Aplicando a fórmula:
9-16x^{2}=(3-4x)(3+4x).
Repare que 3-4x=-(4x-3). Então podemos reescrever o numerador como
9-16x^{2}=-(4x-3)(4x+3).

Passo 3

Usando a fatoração do passo anterior, a função fica
y=\frac{-(4x-3)(4x+3)}{4x-3}.
Para x\neq\frac{3}{4} (ou seja, quando 4x-3\neq 0) podemos cancelar o fator comum 4x-3 no numerador e no denominador, obtendo
y=-(4x+3).
Desenvolvendo o sinal:
y=-4x-3\qquad\text{para }x\neq\frac{3}{4}.
Observação importante: na forma original a expressão não está definida em x=\frac{3}{4} porque o denominador fica zero. A simplificação mostra que a expressão vale -4x-3 para todos os x diferentes de \tfrac{3}{4}; em x=\tfrac{3}{4} há uma descontinuidade removível na expressão dada.

Passo 4

Agora derivamos a função simplificada y=-4x-3 — isso é muito simples porque é uma função linear. Lembrete da regra básica de derivação:
\frac{d}{dx}\big(ax+b\big)=a,
onde a e b são constantes (a derivada de uma reta é a sua inclinação). Aplicando aqui:
\frac{d y}{d x}=\frac{d}{dx}(-4x)-\frac{d}{dx}(3)=-4+0=-4.
Portanto, para x\neq\frac{3}{4} temos \frac{d y}{d x}=-4.

Passo 5

(Verificação alternativa com a regra do quociente — opcional, mas bom para treinar.)
Se usássemos a regra do quociente diretamente: seja u=9-16x^{2} e v=4x-3. Então u'=-32x e v'=4. A regra do quociente diz
\frac{dy}{dx}=\frac{u'v-uv'}{v^{2}}=\frac{(-32x)(4x-3)-(9-16x^{2})\cdot4}{(4x-3)^{2}}.
Calculando o numerador passo a passo:
(-32x)(4x-3)=-128x^{2}+96x,
(9-16x^{2})\cdot4=36-64x^{2},
\text{numerador}=(-128x^{2}+96x)-(36-64x^{2})=-64x^{2}+96x-36.
Agora observe que
-64x^{2}+96x-36=-4\big(16x^{2}-24x+9\big)=-4(4x-3)^{2}.
Então
\frac{dy}{dx}=\frac{-4(4x-3)^{2}}{(4x-3)^{2}}=-4,
desde que 4x-3\neq 0. Resultado coincide com a simplificação anterior.

Resposta

\displaystyle \frac{d y}{d x}=-4 para x\neq\frac{3}{4}.

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