Ache a frequência fundamental (primeiro harmônico) e a frequência de cada um dos três primeiros sobretons de um tubo cheio de ar de 1,00 \mathrm{~m} de comprimento que possui uma de suas extremidades aberta e a outra fechada. Considere que a velocidade do som no ar é v_{\text {som }}=344 \mathrm{~m} / \mathrm{s}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a frequência fundamental (primeiro harmônico) e as frequências dos três primeiros sobretons de um tubo de ar de comprimento 1,00\\ \mathrm{m} que tem uma extremidade aberta e a outra fechada. Dados fornecidos relevantes:
L = 1,00\\ \mathrm{m}
v_{\text{som}} = 344\\ \mathrm{m/s}
Perguntas explícitas:
  • Qual é a frequência fundamental (primeiro harmônico)?
  • Quais são as frequências dos três primeiros sobretons (primeiro, segundo e terceiro sobretons)?

Passo 2

Conceito físico e condição de contorno (aulas rápidas e práticas): num tubo com uma extremidade fechada e a outra aberta, as posições de máximo e mínimo deslocamento da coluna de ar são diferentes em cada extremidade. Em termos simples:
  • A extremidade fechada não permite movimento de ar, logo é um nó de deslocamento (deslocamento zero).
  • A extremidade aberta permite movimento máximo do ar, logo é um ventre (antinode) de deslocamento.
O que isso significa para ondas estacionárias? A distância entre um nó e um ventre adjacente corresponde a um quarto de comprimento de onda. Portanto, para o modo mais simples (fundamental), o tubo comporta exatamente um quarto de onda ao longo do seu comprimento. Para modos mais altos (harmônicos permitidos neste tipo de tubo) acrescentamos meios comprimentos de onda apropriados, mas somente padrões que mantenham um nó numa extremidade e um ventre na outra são permitidos — isso leva a apenas harmônicos ímpares.

Passo 3

Fórmula geral dos comprimentos de onda permitidos: como explicado, o tubo cheio com uma extremidade fechada comporta ondas cujo comprimento de onda \lambda satisfaz
\lambda_n = \frac{4L}{n},
onde n é um número inteiro ímpar: n=1,3,5,\dots. Aqui:
  • \lambda_n é o comprimento de onda do modo n,
  • L é o comprimento do tubo,
  • n indica o “número de quartos de onda” preenchidos no tubo (1 quarto para n=1, 3 quartos para n=3, etc.).
Explicação rápida de por que vem \dfrac{4L}{n}: para n=1 (fundamental) temos L=\lambda_1/4 logo \lambda_1=4L. Para n=3 o tubo contém três quartos de onda: L=3\lambda_3/4 => \lambda_3=4L/3. Generalizando para n ímpar: \lambda_n=4L/n.

Passo 4

Relação entre frequência, velocidade e comprimento de onda: qualquer onda sonora satisfaz
f = \frac{v}{\lambda},
onde:
  • f é a frequência,
  • v é a velocidade do som no meio,
  • \lambda é o comprimento de onda.
Substituindo \lambda_n obtemos a fórmula dos modos permitidos:
f_n = \frac{v}{\lambda_n} = \frac{v}{4L/n} = \frac{n\,v}{4L},
com n=1,3,5,\dots. Aqui explicito cada símbolo:
  • f_n é a frequência do modo n,
  • n é ímpar (1,3,5,7,…),
  • v é v_{\text{som}} = 344\\ \mathrm{m/s},
  • L é 1,00\\ \mathrm{m}.

Passo 5

Cálculo da frequência fundamental ( n=1). Usando a fórmula
f_1 = \frac{1\cdot v}{4L} = \frac{v}{4L}.
Substituindo números:
f_1 = \frac{344}{4\cdot 1,00} = \frac{344}{4}.
Faço a divisão: 344\div 4 = 86. Então
f_1 = 86\\ \mathrm{Hz}.

Passo 6

Cálculo dos sobretons (lembrando: em tubo fechado-aberto, os sobretons correspondem aos harmônicos ímpares seguintes).
Primeiro sobretom: corresponde a n=3.
f_3 = \frac{3\cdot v}{4L} = 3 f_1 = 3\cdot 86 = 258\\ \mathrm{Hz}.
Segundo sobretom: corresponde a n=5.
f_5 = \frac{5\cdot v}{4L} = 5 f_1 = 5\cdot 86 = 430\\ \mathrm{Hz}.
Terceiro sobretom: corresponde a n=7.
f_7 = \frac{7\cdot v}{4L} = 7 f_1 = 7\cdot 86 = 602\\ \mathrm{Hz}.

Resposta

Frequência fundamental: 86\\ \mathrm{Hz}
Primeiro sobretom (3º harmônico): 258\\ \mathrm{Hz}
Segundo sobretom (5º harmônico): 430\\ \mathrm{Hz}
Terceiro sobretom (7º harmônico): 602\\ \mathrm{Hz}

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