Quatro partículas de massas 2 \mathrm{~kg}, 3 \mathrm{~kg}, 5 \mathrm{~kg} e 10 kg estão localizadas nos pontos (1,0), (0,2), (3,1) e (4,0) respectivamente. Esquematize a distribuição das partículas e calcule a posição do CM do sistema.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esquematizar a distribuição das partículas e calcular a posição do centro de massa (CM) do sistema. As informações fornecidas são (peguei os dados diretamente do enunciado):
  • Partícula 1: massa \,2\\ \mathrm{kg}\, no ponto (1,0).
  • Partícula 2: massa \,3\\ \mathrm{kg}\, no ponto (0,2).
  • Partícula 3: massa \,5\\ \mathrm{kg}\, no ponto (3,1).
  • Partícula 4: massa \,10\\ \mathrm{kg}\, no ponto (4,0).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida e prática):
  • Para um sistema de n partículas pontuais, o centro de massa em coordenadas cartesianas é dado por
x_{\text{CM}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i x_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i},\qquad y_{\text{CM}}=\frac{\sum_{i=1}^{n} m_i y_i}{\sum_{i=1}^{n} m_i},
onde:
  • m_i é a massa da i-ésima partícula,
  • x_i e y_i são as coordenadas dessa partícula,
  • o numerador é a soma dos momentos (massa vezes coordenada) e o denominador é a massa total.
    Intuitivamente, o CM é o “ponto de equilíbrio” — se você suportasse o sistema nesse ponto, ele ficaria balanceado.

Passo 3

Calcular a massa total do sistema M:
M=\sum_{i=1}^{4} m_i = 2+3+5+10.
Fazendo as contas:
M=2+3+5+10=20\\ \mathrm{kg}.

Passo 4

Calcular x_{\text{CM}}. Primeiro os momentos em x (cada produto m_i x_i):
2\cdot 1 = 2,\qquad 3\cdot 0 = 0,\qquad 5\cdot 3 = 15,\qquad 10\cdot 4 = 40.
Somando os momentos:
\sum m_i x_i = 2+0+15+40 = 57.
Agora aplicamos a fórmula:
x_{\text{CM}}=\frac{\sum m_i x_i}{M}=\frac{57}{20}.
Convertendo para decimal (útil para visualizar):
x_{\text{CM}}=\frac{57}{20}=2{,}85.

Passo 5

Calcular y_{\text{CM}}. Momentos em y:
2\cdot 0 = 0,\qquad 3\cdot 2 = 6,\qquad 5\cdot 1 = 5,\qquad 10\cdot 0 = 0.
Somando os momentos:
\sum m_i y_i = 0+6+5+0 = 11.
Aplicando a fórmula:
y_{\text{CM}}=\frac{\sum m_i y_i}{M}=\frac{11}{20}.
Convertendo para decimal:
y_{\text{CM}}=\frac{11}{20}=0{,}55.

Passo 6

Esquematização rápida da distribuição (coloquei em forma de lista de pontos com massas para ficar claro onde estão as partículas) e indicação do CM:
  • Partícula em (1,0) com massa 2\\ \mathrm{kg}.
  • Partícula em (0,2) com massa 3\\ \mathrm{kg}.
  • Partícula em (3,1) com massa 5\\ \mathrm{kg}.
  • Partícula em (4,0) com massa 10\\ \mathrm{kg}.
O centro de massa calculado fica em \left(\dfrac{57}{20},\dfrac{11}{20}\right), que em forma decimal é (2{,}85,\,0{,}55). Visualmente, note que o CM fica mais próximo das partículas de maior massa (a de 10\\ \mathrm{kg} em (4,0) “puxa” o CM para a direita).

Passo 7

Pequeno exemplo extra (para fixar a ideia): duas massas \,1\\ \mathrm{kg}\, em x=0 e \,3\\ \mathrm{kg}\, em x=2. O CM em x seria
x_{\text{CM}}=\frac{1\cdot 0 + 3\cdot 2}{1+3}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}=1{,}5,
ou seja, mais próximo da segunda massa, porque ela é maior — é exatamente a mesma ideia que usamos no problema.

Resposta

Distribuição esquemática: (1,0):\\\ 2\\ \mathrm{kg};\\ (0,2):\\\ 3\\ \mathrm{kg};\\ (3,1):\\\ 5\\ \mathrm{kg};\\ (4,0):\\\ 10\\ \mathrm{kg}.
Centro de massa: \left(\dfrac{57}{20},\dfrac{11}{20}\right)= (2{,}85,\,0{,}55).

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