Uma barra de alumínio de seção reta quadrada tem 1,3 m de comprimento e 5,2 m m de lado. (a) Qual é a resistência elétrica entre as extremidades da barra? (b) Qual deve ser o diâmetro de uma barra cilíndrica de cobre com 1,3 m de comprimento para que a resistência seja a mesma que a da barra de alumínio?

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede duas coisas.
Dados:
\text{comprimento } L = 1,3\\ \text{m}
\text{lado do quadrado } a = 5,2\\ \text{mm} = 5,2\times 10^{-3}\\ \text{m}
Perguntas:
  1. (a) Qual é a resistência elétrica entre as extremidades da barra de alumínio?
  2. (b) Qual deve ser o diâmetro de uma barra cilíndrica de cobre, com comprimento 1,3\\ \text{m}, para que sua resistência seja igual à da barra de alumínio?
Também vou usar as resistividades típicas (valor padrão a temperatura ambiente). Vou indicar explicitamente esses valores quando for usá-los.

Passo 2

Entendendo a fórmula que vamos usar (explicação didática).
A resistência elétrica de um condutor homogêneo de comprimento L e área da secção transversal A é dada por:
R=\rho\frac{L}{A},
onde:
  • \rho é a resistividade do material (medida em \Omega\cdot\text{m}). É uma propriedade do material que indica quão difícil é a passagem de corrente;
  • L é o comprimento do condutor (em metros);
  • A é a área da secção transversal (em metros quadrados).
Vamos aplicar essa fórmula ao caso da barra quadrada de alumínio e, depois, igualar a resistência para encontrar a área e o diâmetro da barra cilíndrica de cobre.

Passo 3

Valores das resistividades que usaremos (valores padrão a 20 °C, indicados explicitamente):
\rho_{\text{Al}} = 2,82\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m}
\rho_{\text{Cu}} = 1,68\times 10^{-8}\\ \Omega\cdot\text{m}
(Se a prova der outros valores, troque aqui; mas esses são os usados comumente.)

Passo 4

Calcular a área da secção transversal da barra quadrada de alumínio.
A área de um quadrado de lado a é
A_{\text{Al}}=a^{2}.
Como a=5,2\times 10^{-3}\\ \text{m},
A_{\text{Al}}=(5,2\times 10^{-3})^{2}.
Compute passo a passo:
5,2^{2}=27,04
(5,2\times 10^{-3})^{2}=27,04\times 10^{-6}=2,704\times 10^{-5}\\ \text{m}^{2}.
Logo,
A_{\text{Al}}=2,704\times 10^{-5}\\ \text{m}^{2}.

Passo 5

Calcular a resistência da barra de alumínio usando R=\rho\frac{L}{A}.
Substituindo:
R_{\text{Al}}=\rho_{\text{Al}}\frac{L}{A_{\text{Al}}} =\left(2,82\times 10^{-8}\right)\frac{1,3}{2,704\times 10^{-5}}.
Agora faço as contas em etapas:
\text{numerador}=\left(2,82\times 10^{-8}\right)\cdot 1,3 = 3,666\times 10^{-8}.
R_{\text{Al}}=\frac{3,666\times 10^{-8}}{2,704\times 10^{-5}}.
Dividindo potências de dez:
\frac{3,666}{2,704}\times 10^{-3}\approx 1,35576\times 10^{-3}\\ \Omega.
Arredondando com três algarismos significativos:
R_{\text{Al}}\approx 1,36\times 10^{-3}\\ \Omega.
Para interpretar: isso é cerca de 1,36\\ \text{m}\Omega (mili-ohm).

Passo 6

Agora a parte (b): queremos uma barra cilíndrica de cobre, mesmo comprimento L=1,3\\ \text{m}, com resistência igual a R_{\text{Al}}. Para um cilindro, a área da secção é
A_{\text{cil}}=\frac{\pi d^{2}}{4},
onde d é o diâmetro.
Da fórmula da resistência,
R_{\text{Cu}}=\rho_{\text{Cu}}\frac{L}{A_{\text{cil}}}.
Queremos R_{\text{Cu}}=R_{\text{Al}}. Logo
A_{\text{cil}}=\rho_{\text{Cu}}\frac{L}{R_{\text{Al}}}.
Substituindo os valores:
A_{\text{cil}}=\left(1,68\times 10^{-8}\right)\frac{1,3}{1,35576\times 10^{-3}}.
Calculemos o numerador:
(1,68\times 10^{-8})\cdot 1,3 = 2,184\times 10^{-8}.
Dividindo:
A_{\text{cil}}=\frac{2,184\times 10^{-8}}{1,35576\times 10^{-3}} = \frac{2,184}{1,35576}\times 10^{-5} \approx 1,61130\times 10^{-5}\\ \text{m}^{2}.

Passo 7

Agora encontramos o diâmetro a partir de A_{\text{cil}}=\frac{\pi d^{2}}{4}. Isolando d:
d=\sqrt{\frac{4A_{\text{cil}}}{\pi}}.
Substituindo A_{\text{cil}}=1,61130\times 10^{-5}\\ \text{m}^{2}:
d=\sqrt{\frac{4\cdot 1,61130\times 10^{-5}}{\pi}} =\sqrt{\frac{6,44520\times 10^{-5}}{\pi}}.
Calcule:
\frac{6,44520\times 10^{-5}}{\pi}\approx 2,05130\times 10^{-5}.
d\approx \sqrt{2,05130\times 10^{-5}} \approx 4,5296\times 10^{-3}\\ \text{m}.
Convertendo para milímetros:
d\approx 4,53\\ \text{mm}.

Resposta

(a) R_{\text{Al}}\approx 1,36\times 10^{-3}\\ \Omega
(b) d\approx 4,53\\ \text{mm}

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