Queståo 5 (valor 2,0 ) Um campo elétrio módulo E=1,5 \mathrm{kV} / \mathrm{m} e um campo magn de módulo B=0,40 T atuam sobre um elétron em movimento de modo a produzir uma força resultante nula. Suponha que os vetores \bar{E} e \bar{B} silo perpendiculares entre si. Calcule o módulo da velocidade do elétron.
DADOS:
\mathrm{c}=1,60 \times 10^{-19} \mathrm{C}
\mathrm{m}_{\mathrm{e}}=9,11 \times 10^{-31} \mathrm{~kg}
\mathrm{k}=8,99 \times 10^{9} \mathrm{~N}^{2} \cdot \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{C}^{2}
\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{~T} . \mathrm{m} / \mathrm{A}
\varepsilon_{0}=8,85 \times 10^{-12} \mathrm{C}^{2} / \mathrm{N}^{2} . \mathrm{m}^{2}
\begin{gathered} \vec{F}=i \vec{l} \times \vec{B} \\\ \vec{F}=q \vec{v} \times \vec{B} \\\ d \vec{B}=\frac{\mu_{0} i}{4 \pi} \frac{d \vec{s} \times \hat{r}}{r^{2}} \\\ \oint \vec{B} \cdot d \vec{s}=\mu_{0} i \end{gathered}

Passo 1

O enunciado pede o módulo da velocidade do elétron tal que a força resultante sobre ele seja nula, sabendo que os vetores \vec{E} e \vec{B} são perpendiculares entre si.
Informações relevantes dadas no enunciado:
\begin{aligned} &\text{módulo do campo elétrico:}\quad E=1{,}5\\ \mathrm{kV/m} \\\ &\text{módulo do campo magnético:}\quad B=0{,}40\\ \mathrm{T} \\\ &\text{partícula: elétron (carga negativa)} \\\ &\text{constantes fornecidas no enunciado (não todas serão necessárias).} \end{aligned}óéóéíéããá

Passo 2

Escrevemos as expressões das forças sobre uma carga puntiforme em presença de campos elétrico e magnético. Expliquei devagar porque é importante saber isso na prova.
A força elétrica é dada por
\vec{F}_E = q\,\vec{E},
onde q é a carga da partícula e \vec{E} é o campo elétrico (a direção da força elétrica é a direção de \vec{E} se q>0 e oposta se q<0).
A força magnética (força de Lorentz) é dada por
\vec{F}_B = q\,\vec{v}\times\vec{B},
onde \vec{v} é a velocidade da partícula, \vec{B} é o campo magnético e \times indica produto vetorial (a direção de \vec{v}\times\vec{B} é perpendicular ao plano formado por \vec{v} e \vec{B} e o seu módulo é vB\sin\theta, com \theta ângulo entre \vec{v} e \vec{B}). Vou explicar o produto vetorial em mais detalhe quando usar.

Passo 3

A condição de força resultante nula é
\vec{F}_\text{res}=\vec{F}_E+\vec{F}_B=\vec{0}.
Substituindo as expressões das forças temos
q\vec{E}+q\vec{v}\times\vec{B}=\vec{0}.
Como q\neq 0 podemos dividir por q, obtendo a relação vetorial importante
\vec{E}+\vec{v}\times\vec{B}=\vec{0} \quad\Longrightarrow\quad \vec{v}\times\vec{B}=-\vec{E}.
Observação sobre sinal: o elétron tem carga negativa, mas a divisão por q cancela o sinal — a equação acima é válida independentemente do sinal de q; o sinal apenas orienta os vetores.

Passo 4

Agora explico como usar o produto vetorial para achar o módulo de \vec{v}. O módulo do produto vetorial satisfaz
|\vec{v}\times\vec{B}|=v\,B\,\sin\theta,
onde \theta é o ângulo entre \vec{v} e \vec{B}. Da equação vetorial \vec{v}\times\vec{B}=-\vec{E} toma- -se módulo em ambos os lados:
v\,B\,\sin\theta = E.
Agora precisamos decidir o valor de \sin\theta. O enunciado disse que \vec{E} e \vec{B} são perpendiculares. Para que exista um \vec{v} tal que \vec{v}\times\vec{B} seja colinear (e oposto) a \vec{E}, \vec{v} deve ser perpendicular a \vec{B} e também perpendicular a \vec{E} (por exemplo, se \vec{B} está em y e \vec{E} em x, então \vec{v} em z \vec{v}\times\vec{B} apontando em -x). Portanto \theta=90^\circ e \sin\theta=1. Logo a relação de módulos fica simplesmente
vB = E.

Passo 5

Isolamos o módulo da velocidade:
v=\frac{E}{B}.
Antes de calcular, convertemos E para unidades SI (volt por metro). O enunciado deu E=1{,}5\\ \mathrm{kV/m}, que é
E=1{,}5\times 10^{3}\\ \mathrm{V/m}.
O B já está em tesla: B=0{,}40\\ \mathrm{T}.

Passo 6

Fazemos a conta (faço passo a passo para você reproduzir sem calculadora):
v=\frac{1{,}5\times10^{3}}{0{,}40}.
Dividir por 0{,}40 é multiplicar por 2{,}5 (porque 1/0{,}4=2{,}5). Então
v=1{,}5\times10^{3}\times 2{,}5.
Multiplicando 1{,}5\times 2{,}5 = 3{,}75. Portanto
v=3{,}75\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}.
É sempre bom checar unidade: E/B tem unidade (\mathrm{V/m})/(\mathrm{T})=(\mathrm{N/C})/(\mathrm{N\cdot s/(C\cdot m)})=\mathrm{m/s}, consistente.

Passo 7

Pequeno comentário encorajador: esse valor é bem menor que a velocidade da luz, então o tratamento não-relativístico (usando forças clássicas) está ok. Você conseguiu — a ideia chave é igualar as forças elétrica e magnética em módulo e prestar atenção nas direções (produto vetorial).

Resposta

v=3{,}75\times10^{3}\\ \mathrm{m/s}

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