Suponha que a função f seja 2 pi-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo [-2 pi, 2 pi], calcule seus limites laterais nos pontos x=0 e x= pm pi e, por fim, encontre sua série de Fourier:
(d) f(x)=x^2, -pi<x<pi

Passo 1

O enunciado define f como função 2pi-periódica, cujo “tronco” em -pi<x<pi é dado por
f(x)=x^2
Precisamos (i) esboçar o gráfico de f em [-2pi,2pi], (ii) calcular os limites laterais em x=0 e em x=pmpi, e (iii) obter a série de Fourier de f.

Passo 2

No intervalo -pi<x<pi, f(x)=x^2 é uma parábola de mínimo em x=0. Como a função é 2pi-periódica, basta “colar” cópias desse arco de parábola em cada intervalo de comprimento 2pi. Logo, de -2pi a -pi e de pi a 2pi aparecem parábolas idênticas deslocadas horizontalmente.

Passo 3

Calculemos os limites:
  1. Em x=0, pela continuidade de x^2,
limxto0^-f(x)=0^2=0, limxto0^+f(x)=0^2=0
  1. Em x=pi, ao vir da esquerda f(pi^-)=pi^2; pela periodicidade, à direita de pi estamos em -pi^+, logo f(pi^+)=f(-pi^+)=(-pi)^2=pi^2. Analogamente em x=-pi:
limxtopmpi^-f(x)=pi^2, limxtopmpi^+f(x)=pi^2

Passo 4

Para a série de Fourier em [- pi,pi] recordamos que x^2 é função par, logo os coeficientes bn=0.
O coeficiente constante é
a0=1piintegral-pi^pix^2,dx =2piintegral0^pix^2,dx =2picdotpi^33 =2pi^23,
e o termo constante da série é a0/2=pi^2/3.

Passo 5

Para n>=1,
an=1piintegral-pi^pix^2cos(nx),dx =2piintegral0^pix^2cos(nx),dx
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
integral0^pix^2cos(nx),dx =2pi(-1)^nn^2,
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an=2picdot2pi(-1)^nn^2 =4(-1)^nn^2
Portanto a série de Fourier é
f(x)=x^2 =pi^23 +4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)

Resposta

Limites laterais:
limxto0^pmf(x)=0, limxtopmpi^pmf(x)=pi^2
Série de Fourier:
x^2=pi^23 +4sumn=1^infty(-1)^nn^2cos(nx)

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