Suponha que a função
seja
-periódica. Esboce seu gráfico no intervalo
, calcule seus limites laterais nos pontos
e
, por fim, encontre sua série de Fourier:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado define
como função
-periódica, cujo “tronco” em
é dado por
Precisamos (i) esboçar o gráfico de
em
, (ii) calcular os limites laterais em
e em
, e (iii) obter a série de Fourier de
.
Passo 2
No intervalo
,
é uma parábola de mínimo em
. Como a função é
-periódica, basta “colar” cópias desse arco de parábola em cada intervalo de comprimento
. Logo, de
a
e de
a
aparecem parábolas idênticas deslocadas horizontalmente.
Passo 3
Calculemos os limites:
- Em
, pela continuidade de ,
- Em
, ao vir da esquerda ; pela periodicidade, à direita de estamos em , logo . Analogamente em :
Passo 4
Para a série de Fourier em
recordamos que
é função par, logo os coeficientes
.
O coeficiente constante é
O coeficiente constante é
e o termo constante da série é
.
Passo 5
Para
,
Fazendo integração por partes duas vezes obtém-se
logo
Portanto a série de Fourier é
Resposta
Limites laterais:
Série de Fourier: