Ache a função de Green do problema abaixo:
Exercício 3. (F. 10.1, ex.2.2)
c u^prime prime+9 u^prime+20 u=f u(0)=u^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a função de Green para o problema de valor inicial
u''(t) + 9,u'(t) + 20,u(t) = f(t),&t>0, u(0)=0, u'(0)=0
O conteúdo é o método de construção da função de Green para um operador linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos das soluções fundamentais da equação homogênea e das condições de contorno mais a descontinuidade da derivada imposta pelo delta de Dirac.

Passo 2

Escrevemos a equação característica do operador homogêneo
r^2 + 9r + 20 = 0,
cuja solução fornece as raízes
r1 = -4, r2 = -5
Logo, as soluções fundamentais são e^-4t e e^-5t.

Passo 3

Para t<s a função de Green deve ser nula (causalidade). Para t>s tomamos a forma geral
G(t,s)=A(s),e^-4,(t-s) + B(s),e^-5,(t-s)
A continuidade em t=s impõe
G(s^+,s)=G(s^-,s);Longrightarrow;A(s)+B(s)=0

Passo 4

A descontinuidade da derivada em t=s vem de
integrals^-^s^+G''(t,s),dt = 1,
que equivale a
G'(s^+,s)-G'(s^-,s)=1
Como G'(s^-,s)=0, calculamos
G'(t,s)|t=s^+ =-4A(s)-5B(s)=1
e, com B(s)=-A(s), obtemos
-4A(s)-5(-A(s))=A(s)=1, B(s)=-1

Passo 5

Então a função de Green fica
G(t,s)= 0, & t < s, [6pt] e^-4,(t-s) - e^-5,(t-s), & t >= s ]

Resposta

G(t,s)=l(e^-4,(t-s)-e^-5,(t-s)r),H(t-s),
onde H é o degrau de Heaviside.

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