Ache a função de Green do problema abaixo:
Exercício 3. (F. 10.1, ex.2.2)
Passo 1
O enunciado pede a função de Green para o problema de valor inicial
O conteúdo é o método de construção da função de Green para um operador linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Precisamos das soluções fundamentais da equação homogênea e das condições de contorno mais a descontinuidade da derivada imposta pelo delta de Dirac.
Passo 2
Escrevemos a equação característica do operador homogêneo
cuja solução fornece as raízes
Logo, as soluções fundamentais são e .
Passo 3
Para a função de Green deve ser nula (causalidade). Para tomamos a forma geral
A continuidade em impõe
Passo 4
A descontinuidade da derivada em vem de
que equivale a
Como , calculamos
e, com B(s)=-A(s), obtemos
-4A(s)-5(-A(s))=A(s)=1, B(s)=-1
Passo 5
Então a função de Green fica
G(t,s)= 0, & t < s, [6pt] e^-4,(t-s) - e^-5,(t-s), & t >= s ]