Disserte sobre o tema técnicas para diagonalização de operadores. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
- Definição de autovalores e autovetores de um operador linear;
- Descrição dos métodos para obtenção dos mesmos, justificando a validade destes métodos, incluindo a independência da escolha da base nestes cálculos;
- Definição de operadores diagonalizáveis;
- Descrição de condições para que um operador seja diagonálizável.
Passo 1
O enunciado pede uma visão completa sobre técnicas de diagonalização de operadores lineares, cobrindo:
– definição de autovalores e autovetores;
– métodos para encontrá-los e a invariância diante da escolha de base;
– definição de operador diagonalizável;
– condições necessárias e suficientes para diagonalização.
– definição de autovalores e autovetores;
– métodos para encontrá-los e a invariância diante da escolha de base;
– definição de operador diagonalizável;
– condições necessárias e suficientes para diagonalização.
Passo 2
Autovalores e autovetores. Seja
um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo (por exemplo,
ou
). Dizemos que
é um autovalor de
se existe um vetor não-nulo
tal que
Esse
é chamado autovetor associado a
. O conjunto de todos os autovetores de
, junto com o vetor zero, forma o autoespaço
cuja dimensão é a multiplicidade geométrica de
.
Passo 3
Métodos para obter autovalores e autovetores.
- Escolho uma base qualquer de
. Na base, está representado por uma matriz . - Calculo o polinômio característico
As raízes de
são os autovalores.
3. Para cada raiz , resolvo
para obter a base do autoespaço
. Esses vetores são os autovetores.
3. Para cada raiz
Justificativa da independência da base: mudança de base equivale a conjugação da matriz
por uma inversível
, ou seja,
. Mas a equação
mostra que autovalores não mudam. E resolver
gera autovetores em outra base, mas correspondentes aos mesmos valores próprios, apenas expressos em coordenadas diferentes.
Passo 4
Operador diagonalizável. Dizemos que
é diagonalizável se existe uma base de
composta por autovetores de
. Nessa base, a matriz de
é diagonal
onde cada
é um autovalor (podendo se repetir de acordo com sua multiplicidade).
Passo 5
Condições para diagonalização. As condições necessárias e suficientes para
ser diagonalizável são:
- O polinômio minimal de
se separa em fatores lineares distintos (ou seja, não tem raízes repetidas). - Para cada autovalor
, a multiplicidade geométrica coincide com a multiplicidade algébrica (a ordem de como raiz de ). - Equivalente: o espaço
se decompõe em soma direta dos autoespaços,
Em espaços com produto interno sobre
(ou
), operadores normais (ou simétricos/hermitianos) satisfazem automaticamente essas condições pelo teorema espectral.
Resposta
Em resumo, para diagonalizar um operador
construímos seu polinômio característico
, encontramos autovalores
e seus autovetores resolvendo
. A independência de base vem do fato de que mudança de base é conjugação, que preserva o espectro.
é diagonalizável exatamente quando há uma base de autovetores, o que ocorre se e somente se cada autovalor tem multiplicidade geométrica igual à algébrica (ou, equivalentemente, o polinômio minimal se separa em raízes simples). Operators normais e simétricos são casos clássicos que garantem diagonalização pelo teorema espectral.