Disserte sobre o tema técnicas para diagonalização de operadores. Nessa questão sugerimos que sejam abordados os seguintes tópicos:
  • Definição de autovalores e autovetores de um operador linear;
  • Descrição dos métodos para obtenção dos mesmos, justificando a validade destes métodos, incluindo a independência da escolha da base nestes cálculos;
  • Definição de operadores diagonalizáveis;
  • Descrição de condições para que um operador seja diagonálizável.

Passo 1

O enunciado pede uma visão completa sobre técnicas de diagonalização de operadores lineares, cobrindo:
– definição de autovalores e autovetores;
– métodos para encontrá-los e a invariância diante da escolha de base;
– definição de operador diagonalizável;
– condições necessárias e suficientes para diagonalização.

Passo 2

Autovalores e autovetores. Seja T: Vto V um operador linear num espaço vetorial de dimensão finita sobre um corpo (por exemplo, R ou C). Dizemos que lambdainK é um autovalor de T se existe um vetor não-nulo vin V tal que
T(v)=lambda,v
Esse v é chamado autovetor associado a lambda. O conjunto de todos os autovetores de lambda, junto com o vetor zero, forma o autoespaço
Elambda = ,vin Vmid T(v)=lambda v,
cuja dimensão é a multiplicidade geométrica de lambda.

Passo 3

Métodos para obter autovalores e autovetores.
  1. Escolho uma base qualquer de V. Na base, T está representado por uma matriz A.
  2. Calculo o polinômio característico
p(lambda)=det(A-lambda I)
As raízes de p(lambda) são os autovalores.
3. Para cada raiz lambdai, resolvo (A-lambdai I)x=0 para obter a base do autoespaço Elambdai. Esses vetores são os autovetores.
Justificativa da independência da base: mudança de base equivale a conjugação da matriz A por uma inversível P, ou seja, A'=P^-1AP. Mas a equação
det(A'-lambda I)=det(P^-1(A-lambda I)P)=det(A-lambda I)
mostra que autovalores não mudam. E resolver (A' -lambda I)x'=0 gera autovetores em outra base, mas correspondentes aos mesmos valores próprios, apenas expressos em coordenadas diferentes.

Passo 4

Operador diagonalizável. Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base de V composta por autovetores de T. Nessa base, a matriz de T é diagonal
D = diag(lambda1,dots,lambdan),
onde cada lambdai é um autovalor (podendo se repetir de acordo com sua multiplicidade).

Passo 5

Condições para diagonalização. As condições necessárias e suficientes para T ser diagonalizável são:
  1. O polinômio minimal de T se separa em fatores lineares distintos (ou seja, não tem raízes repetidas).
  2. Para cada autovalor lambda, a multiplicidade geométrica dim Elambda coincide com a multiplicidade algébrica (a ordem de lambda como raiz de p(lambda)).
  3. Equivalente: o espaço V se decompõe em soma direta dos autoespaços,
V = opluslambda Elambda
Em espaços com produto interno sobre C (ou R), operadores normais (ou simétricos/hermitianos) satisfazem automaticamente essas condições pelo teorema espectral.

Resposta

Em resumo, para diagonalizar um operador T construímos seu polinômio característico det(A-lambda I), encontramos autovalores lambda e seus autovetores resolvendo (A-lambda I)x=0. A independência de base vem do fato de que mudança de base é conjugação, que preserva o espectro. T é diagonalizável exatamente quando há uma base de autovetores, o que ocorre se e somente se cada autovalor tem multiplicidade geométrica igual à algébrica (ou, equivalentemente, o polinômio minimal se separa em raízes simples). Operators normais e simétricos são casos clássicos que garantem diagonalização pelo teorema espectral.

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