Ache a função de Green do problema abaixo:
Exercício 2. (F. 10.1, ex.2.1)
c u^prime prime+4 u^prime+4 u=f u(0)=u^prime(0)=0

Passo 1

O enunciado pede a função de Green para o problema de valor inicial de segunda ordem
u''+4u'+4u=f, u(0)=u'(0)=0
Para resolver isso vamos achar duas soluções independentes da homogênea, calcular o wronskiano e usar a fórmula canônica de Green.

Passo 2

Procuramos as soluções da homogênea
u''+4u'+4u=0
O polinômio característico é
r^2+4r+4=(r+2)^2=0,
logo a raiz é dupla r=-2. As duas soluções independentes são
y1(t)=e^-2t, y2(t)=t,e^-2t

Passo 3

Calculamos o wronskiano
W(t)= y1(t)&y2(t) y1'(t)&y2'(t) = e^-2t&t,e^-2t -2e^-2t&(1-2t)e^-2t =e^-4t

Passo 4

A fórmula geral da função de Green para
Substituindo e obtemos, para ,

Resposta

G(t,s)= 0, &t<s, (t-s),e^-2(t-s),&t>= s

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