Q. 5. Considere a função f(x)=ll2 x-2, & 1 <= x<2 3, & 2 <= x <= 4. Qual a alternativa incorreta?
(a) O intervalo (2,3) não está na imagem de f;
(b) f não é contínua em x=2;
(c) A imagem de f está contida no intervalo [0,3];
(d) f é uma função contínua.

Passo 1

A questão dá a função
f(x)= 2x-2, & 1 <= x < 2, 3, & 2 <= x <= 4,
pede para identificar a alternativa incorreta entre propriedades de imagem e continuidade. O conteúdo aqui é análise de função por partes: achamos a imagem de cada ramo e estudamos a continuidade em x=2.

Passo 2

Vamos determinar a imagem de f.
No intervalo 1 <= x < 2,
f(x)=2x-2
é uma reta crescente que em x=1 vale 2cdot1-2=0 e, ao aproximar x de 2 pela esquerda, tende a 2cdot2-2=2 sem atingi-lo. Logo a imagem desse ramo é
[0,2)
No intervalo 2 <= x <= 4, f(x)=3 é constante, gerando a imagem 3.
Portanto
Im(f) = [0,2),cup3

Passo 3

Analisando as alternativas ligadas à imagem:
(a) Diz que (2,3) não está na imagem. De fato, Im(f) vai de 0 até valores abaixo de 2 e pula direto para 3, então nenhum valor em (2,3) aparece. Essa afirmação é verdadeira.
(c) Afirma que Im(f)subseteq[0,3]. Como [0,2)cup3 está mesmo dentro de [0,3], essa também é verdadeira.

Passo 4

Agora a continuidade em x=2:
  • O limite pela esquerda é
    limxto2^-f(x)=2cdot2-2=2;
  • Mas f(2)=3.
    Como 2neq3, há descontinuidade em x=2.
    (b) Afirma “ f não é contínua em x=2” — verdadeira.
    (d) Afirma “ f é uma função contínua” — falsa, porque já vimos que falha em x=2.

Resposta

(d)

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