Ache a função de Green do problema abaixo:
Exercício 5. (F. 10.1, ex.2.4)
para
.
Exercício 5. (F. 10.1, ex.2.4)
Passo 1
O enunciado pede a função de Green para a equação
com as condições iniciais
em
.
O conteúdo é ODE de Euler-Cauchy e uso de variação de parâmetros para escrever a solução como
O conteúdo é ODE de Euler-Cauchy e uso de variação de parâmetros para escrever a solução como
Passo 2
Colocamos a equação na forma padrão
Aqui
,
e o termo não-homogêneo é
.
Passo 3
Resolvendo a homogênea de Euler
por
obtém-se
Duas soluções fundamentais são
O Wronskiano é
]
Passo 4
Pela fórmula de variação de parâmetros, a solução que satisfaz
u(1)=u'(1)=0 é
Calculamos
Logo
Passo 5
Comparando com
e lembrando que na IVP
G(x,s)=0 para
s>x , concluímos
para1<= s<= x :
para
e para
s>x :
Resposta
Para
x>1 e
s>0 ,