Ache a função de Green do problema abaixo:
Exercício 5. (F. 10.1, ex.2.4)
c x^2 u^prime prime+4 x u^prime+2 u=f u(1)=u^prime(1)=0
para x>0.

Passo 1

O enunciado pede a função de Green para a equação
x^2u''+4xu'+2u=f(x)
com as condições iniciais
u(1)=0, u'(1)=0,
em x>0.
O conteúdo é ODE de Euler-Cauchy e uso de variação de parâmetros para escrever a solução como
u(x)=integral1^xG(x,s),f(s),ds

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
u''+4xu'+2x^2u=f(x)x^2
Aqui P(x)=4/x, Q(x)=2/x^2 e o termo não-homogêneo é R(x)=f(x)/x^2.

Passo 3

Resolvendo a homogênea de Euler u''+(4/x)u'+(2/x^2)u=0 por u=x^m obtém-se
m^2+3m+2=0;Longrightarrow;m=-1,,-2
Duas soluções fundamentais são
y1(x)=x^-1, y2(x)=x^-2
O Wronskiano é
W(x)=x^-1&x^-2[-1ex]-x^-2&-2x^-3 =-x^-4
]

Passo 4

Pela fórmula de variação de parâmetros, a solução que satisfaz u(1)=u'(1)=0 é
u(x)=-y1(x)integral1^xR(s),y2(s)W(s),ds +y2(x)integral1^xR(s),y1(s)W(s),ds
Calculamos
R(s),y2(s)W(s) =(f(s)/s^2),s^-2-s^-4=-f(s), R(s),y1(s)W(s) =(f(s)/s^2),s^-1-s^-4=-s,f(s)
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u(x) = x^-1integral1^xf(s),ds - x^-2integral1^xs,f(s),ds

Passo 5

Comparando com
u(x)=integral1^inftyG(x,s),f(s),ds
e lembrando que na IVP G(x,s)=0 para s>x, concluímos
para 1<= s<= x:
G(x,s) =1x-sx^2 =x-sx^2,
e para s>x:
G(x,s)=0

Resposta

Para x>1 e s>0,
G(x,s)= dfracx-sx^2,&1<= s<= x, 0,&s>x

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