Sejam V e W K-espaços vetoriais de dimensão finita isomorfos, isto é, existe S: V W isomorfismo de espaços vetoriais.
(a) Mostre que dim V=dim W;
(b) Seja T: V V um operador linear. Mostre que S circ T circ S^-1: W W é um operador linear;
(c) Considere varphi: L(V, V) L(W, W) a aplicação dada por varphi(T)=S circ T circ S^-1. Mostre que varphi e um isomorfismo de espaços vetoriais.

Passo 1

O enunciado diz que V e W são espaços vetoriais de dimensão finita sobre o mesmo corpo K e que existe um isomorfismo Scolon Vto W. Precisamos mostrar:
1. dim V=dim W.
2. Se Tcolon Vto V é linear, então Scirc Tcirc S^-1colon Wto W é linear.
3. A aplicação varphicolon L(V,V)to L(W,W) dada por varphi(T)=Scirc Tcirc S^-1 é um isomorfismo de espaços vetoriais.

Passo 2

Para (a), usamos que um isomorfismo envia base em base. Seja B=v1,dots,vn uma base de V. Como S é bijetora e linear, o conjunto
S( B)=S(v1),dots,S(vn)
é uma base de W. Logo W tem exatamente n vetores numéricos independentes geradores, ou seja,
dim W = n = dim V

Passo 3

Para (b), seja Tcolon Vto V linear. Queremos ver que
U := Scirc Tcirc S^-1colon Wto W
é linear. Tomando w1,w2in W e alpha,betain K, escrevemos wi = S(vi) com vi=S^-1(wi). Então
U(alpha w1 + beta w2) = Sl(Tl(S^-1(alpha w1 + beta w2)r)r) = Sl(T(alpha v1 + beta v2)r) = Sl(alpha,T(v1) + beta,T(v2)r) = alpha,S(T(v1)) + beta,S(T(v2)) = alpha,U(w1) + beta,U(w2)
Isso mostra que U é linear.

Passo 4

Para (c), definimos
varphicolon L(V,V)to L(W,W), varphi(T)=Scirc Tcirc S^-1
(i) \emph{Linearidade de varphi}: para T1,T2inL(V,V) e lambdain K,
varphi(T1+T2) = Scirc (T1+T2)circ S^-1 = Scirc T1circ S^-1 + Scirc T2circ S^-1 = varphi(T1) + varphi(T2),
varphi(lambda T1) = Scirc (lambda T1)circ S^-1 = lambda,(Scirc T1circ S^-1) = lambda,varphi(T1)
(ii) \emph{Bijetividade de varphi}:
  • Injetividade: se varphi(T)=0 (mapa zero em W), então Scirc Tcirc S^-1=0. Compondo à esquerda por S^-1 e à direita por S obtemos T=0.
  • Sobrejetividade: dado UinL(W,W), defina T := S^-1circ Ucirc S. Então
varphi(T) = Scirc (S^-1circ Ucirc S)circ S^-1 = U
Assim varphi é bijetora.
Portanto varphi é um isomorfismo de espaços vetoriais.

Resposta

(a) dim V=dim W.
(b) Scirc Tcirc S^-1 é linear por ser composição de aplicações lineares.
(c) varphi é linear e bijetora, logo é um isomorfismo de espaços vetoriais.

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