Sejam
e
-espaços vetoriais de dimensão finita isomorfos, isto é, existe
isomorfismo de espaços vetoriais.
(a) Mostre que
;
(b) Seja
um operador linear. Mostre que
é um operador linear;
(c) Considere
a aplicação dada por
. Mostre que
e um isomorfismo de espaços vetoriais.
(a) Mostre que
(b) Seja
(c) Considere
Passo 1
O enunciado diz que
e
são espaços vetoriais de dimensão finita sobre o mesmo corpo
e que existe um isomorfismo
. Precisamos mostrar:
.
.
. Se
é linear, então
é linear.
. A aplicação
dada por
é um isomorfismo de espaços vetoriais.
Passo 2
Para (a), usamos que um isomorfismo envia base em base. Seja
uma base de
. Como
é bijetora e linear, o conjunto
é uma base de
. Logo
tem exatamente
vetores numéricos independentes geradores, ou seja,
Passo 3
Para (b), seja
linear. Queremos ver que
é linear. Tomando
e
, escrevemos
com
. Então
Isso mostra que
é linear.
Passo 4
Para (c), definimos
(i) \emph{Linearidade de
}: para
e
,
(ii) \emph{Bijetividade de
}:
- Injetividade: se
(mapa zero em ), então . Compondo à esquerda por e à direita por obtemos . - Sobrejetividade: dado
, defina . Então
Assim
é bijetora.
Portanto
é um isomorfismo de espaços vetoriais.
Resposta
(a)
.
(b) é linear por ser composição de aplicações lineares.
(c) é linear e bijetora, logo é um isomorfismo de espaços vetoriais.
(b)
(c)