Quatro pessoas, A, B, C e D, calculam o valor de integral-1^3 1x^2 d x e, ao final, encontram respostas diferentes. A diz que a integral vale 43 ; B diz que a integral vale 23 ; C garante que o valor da integral é ln (-3)^2=ln 9, já que ln (-1)^2=ln 1=0 e D afirma que o valor da integral é -43. Quem está com a razão ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
integral-1^31x^2,dx
que tem descontinuidade em x=0. Vamos usar o conceito de integral imprópria: quando o integrando tem descontinuidade dentro do intervalo, dividimos a integral em dois limites.

Passo 2

Separamos a integral em
integral-1^31x^2,dx =limvarepsilonto0^-integral-1^varepsilon1x^2,dx +limde<ato0^+integralde<a^31x^2,dx
Cada parte deve ser avaliada e testada se converge ou diverge.

Passo 3

Sabemos que
integral1x^2,dx=-1x
Para a primeira parte:
integral-1^varepsilon1x^2,dx =l[-1xr]x=-1^x=varepsilon =-1varepsilon-l(-tfrac1-1r) =-1varepsilon-1
Quando varepsilonto0^-, -1/varepsilonto+infty, ou seja, essa parte diverge. Portanto já não há convergência.
Para a segunda parte seria
integralde<a^31x^2,dx =l[-1xr]x=de<a^x=3 =-13+1de<a,
e quando de<ato0^+ temos 1/de<ato+infty. Também diverge.

Passo 4

Como pelo menos uma das partes diverge para +infty, a integral imprópria
integral-1^31x^2,dx
não converge a um valor finito. Logo, nenhuma das respostas tfrac43, tfrac23, ln9 ou -tfrac43 está correta.

Resposta

Nenhum dos quatro está com a razão: a integral diverge (não existe valor finito).

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