Supondo que f: R R seja uma função periódica com período fundamental T, determine o período fundamental das funções g(x)=f(a x) e h(x)=f(x / b), a, b neq 0.

Passo 1

O enunciado diz que temos uma função periódica fcolon RtoR de período fundamental T>0, e pede para achar o período fundamental de
g(x)=f(a x) e de
h(x)=fl(x/br),
sendo a,bneq0.
O conteúdo aqui é usar a definição de periodicidade e como ela se comporta sob mudanças de variável (escala).

Passo 2

Queremos g(x+P)=g(x) para todo x. Note que
g(x+P)=fl(a(x+P)r)=fl(ax + aPr)
Para isso ser igual a g(x)=f(ax) em todo x, precisamos que
ax + aP = ax + mT
para algum minZ, ou seja,
aP = mT

Passo 3

O menor P>0 que satisfaz aP=mT ocorre para m=pm1. Como queremos P>0, obtemos
P = T|a|
Logo, o período fundamental de g é
Tg = T|a|

Passo 4

Agora, para h(x)=fl(x/br), impomos h(x+P)=h(x). Temos
h(x+P)=fl(x+Pbr)=fl(xb+Pbr),
que igual a f(x/b) exige
Pb = mT, minZ

Passo 5

Novamente, o menor P>0 vem de m=pm1. Como P>0,
P = |b|,T
Portanto, o período fundamental de h é
Th = |b|,T

Resposta

Tg = T|a|, Th = |b|,T.

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