Resolva as seguintes equações diferenciais
y^prime+2 e^x y=e^x.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem linear y' + 2e^xy = e^x. O conteúdo é “equações diferenciais lineares de 1ª ordem” e vamos precisar usar o fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Para usar fator integrante, identificamos P(x)=2e^x e Q(x)=e^x. O fator integrante mu(x) é dado por:
mu(x)=expgl(integral P(x),dxgr)=expgl(integral 2e^x,dxgr)=expl(2e^xr)

Passo 3

Multiplicamos toda a equação original por mu(x). Assim:
mu(x)y'+mu(x)P(x)y=mu(x)Q(x)
mas isso equivale a
ddxl(mu(x)yr)=mu(x)Q(x)

Passo 4

Agora integramos ambos os lados em relação a x:
mu(x)y=integral mu(x)Q(x),dx + C
Substituindo mu(x)=e^2e^x e Q(x)=e^x, temos
integral e^2e^x,e^x,dx
Fazendo a substituição t=2e^x, vem dt=2e^xdx ou e^xdx=dt/2. Logo
integral e^2e^xe^xdx=integral e^tdt2=12e^t+C=12e^2e^x+C

Passo 5

Voltando à expressão para y:
e^2e^xy=12e^2e^x+C
Divide por e^2e^x para isolar y:
y=12 + Ce^-2e^x
onde C é a constante geral de integração.

Resposta

A solução geral é y(x)=tfrac12 + Ce^-2e^x, com C constante de integração.

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