Ache o gradiente da função dada no ponto (1,1).
g(x, y)=e \sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

O problema pede: encontrar o gradiente da função g no ponto (1,1). Informação dada:
g(x,y)=e\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
Do enunciado sabemos que a constante e é o número de Euler, e o ponto onde queremos o gradiente é (1,1). A tarefa é calcular o vetor gradiente \nabla g(1,1).

Passo 2

O que é o gradiente? O gradiente de uma função de duas variáveis g(x,y) é o vetor formado pelas derivadas parciais em relação a x e a y:
\nabla g(x,y)=\left(\frac{\partial g}{\partial x}(x,y),\;\frac{\partial g}{\partial y}(x,y)\right).
Aqui cada derivada parcial significa: derivo a função em relação a uma variável mantendo a outra fixa. Vou calcular \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y} passo a passo.

Passo 3

Para facilitar, defino a função auxiliar
r(x,y)=\sqrt{x^{2}+y^{2}}=(x^{2}+y^{2})^{1/2}.
Então g(x,y)=e\cdot r(x,y). Como e é constante em relação a x,y, temos
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=e\cdot\frac{\partial r}{\partial x}(x,y), \qquad \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=e\cdot\frac{\partial r}{\partial y}(x,y).

Passo 4

Calculo \frac{\partial r}{\partial x} usando a regra da cadeia. Para r=(x^{2}+y^{2})^{1/2},
\frac{\partial r}{\partial x}=\frac{1}{2}(x^{2}+y^{2})^{-1/2}\cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
De modo análogo,
\frac{\partial r}{\partial y}=\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 5

Substituindo em \frac{\partial g}{\partial x} e \frac{\partial g}{\partial y} obtemos as fórmulas gerais:
\frac{\partial g}{\partial x}(x,y)=e\cdot\frac{x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)=e\cdot\frac{y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.

Passo 6

Agora avalio essas expressões no ponto (1,1). Primeiro calculo a raiz:
\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
Portanto
\frac{\partial g}{\partial x}(1,1)=e\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{e}{\sqrt{2}}, \qquad \frac{\partial g}{\partial y}(1,1)=e\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{e}{\sqrt{2}}.

Resposta

\nabla g(1,1)=\left(\dfrac{e}{\sqrt{2}},\dfrac{e}{\sqrt{2}}\right)

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