Use a derivação implícita para encontrar frac{\partial z}{\partial x} e frac{\partial z}{\partial y}.
e^{z}=x y^{2}+2 y^{2} z+3 z^{2} x+7 x y z.

Passo 1

O que o problema pede: encontrar as derivadas parciais \frac{\partial z}{\partial x} e \frac{\partial z}{\partial y} quando z é definida implicitamente pela equação
e^{z}=x y^{2}+2 y^{2} z+3 z^{2} x+7 x y z.
Informações dadas importantes:
\text{o lado esquerdo é }e^{z}\quad\text{e o lado direito é }x y^{2}+2 y^{2} z+3 z^{2} x+7 x y z,éé
onde z=z(x,y) depende de x e y. Não há mais dados numéricos; devemos usar diferenciação implícita (derivar a equação em relação a x e a y, tratando z como função de x,y).

Passo 2

Conceitos que vamos usar (breve aula):
  • Notação: escrevo \displaystyle z_x=\frac{\partial z}{\partial x} e \displaystyle z_y=\frac{\partial z}{\partial y}.
  • Regra da cadeia (para funções compostas): se F(w) e w=w(x), então \dfrac{d}{dx}F(w(x))=F'(w(x))\,w'(x). Aqui, \dfrac{\partial}{\partial x}e^{z(x,y)}=e^{z}\cdot z_x porque d(e^{u})/du=e^{u}.
  • Regra do produto: se u(x) e v(x), \dfrac{d}{dx}(u v)=u'v+u v'.
    Vou aplicar essas regras termo a termo na equação, diferenciando primeiro em relação a x (com y tratado como constante) e depois em relação a y (com x constante).

Passo 3

Diferenciação da equação em relação a x (passo a passo):
Derivando o lado esquerdo:
\frac{\partial}{\partial x}\big(e^{z}\big)=e^{z}\,z_x.
Agora cada termo do lado direito, lembrando que y é constante aqui.
  1. \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(x y^{2}\big)=y^{2} porque y^{2} é constante e a derivada de x é 1.
  2. \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(2 y^{2} z\big)=2 y^{2}\,z_x (produto de constante 2y^{2} por z).
  3. \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(3 z^{2} x\big). Aqui aplicamos a regra do produto a u=3 z^{2} e v=x:
  • u'=\dfrac{\partial}{\partial x}(3 z^{2})=3\cdot 2 z\,z_x=6 z\,z_x.
  • v'=1.
    Logo
\frac{\partial}{\partial x}\big(3 z^{2} x\big)= (6 z\,z_x)\cdot x + (3 z^{2})\cdot 1 = 6 x z\,z_x + 3 z^{2}.
  1. \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\big(7 x y z\big). Trate como produto 7y\cdot x\cdot z com y constante: use a regra do produto entre x e z:
  • derivada de x\cdot z em relação a x é 1\cdot z + x\cdot z_x.
    Multiplicando por 7y (constante) obtém-se
\frac{\partial}{\partial x}\big(7 x y z\big)=7y\,(z + x z_x)=7y z + 7 x y\, z_x.
Agora somamos todas as derivadas do lado direito:
y^{2} + 2 y^{2} z_x + (6 x z\,z_x + 3 z^{2}) + (7y z + 7 x y\, z_x).

Passo 4

Agrupando termos em z_x e isolando z_x:
Colocando tudo junto, da diferenciação obtemos
e^{z}\,z_x = y^{2} + 2 y^{2} z_x + 6 x z\,z_x + 3 z^{2} + 7y z + 7 x y\, z_x.
Reagrupando os termos que contêm z_x no lado direito:
e^{z}\,z_x = \big(2 y^{2} + 6 x z + 7 x y\big) z_x + \big(y^{2} + 3 z^{2} + 7y z\big).
Passando o termo com z_x para o lado esquerdo:
\big(e^{z} - 2 y^{2} - 6 x z - 7 x y\big) z_x = y^{2} + 3 z^{2} + 7y z.
Finalmente isolamos z_x:
\frac{\partial z}{\partial x}=z_x=\frac{y^{2} + 3 z^{2} + 7y z}{e^{z} - 2 y^{2} - 6 x z - 7 x y}.

Passo 5

Agora vamos derivar em relação a y. Relembrando as regras: \dfrac{\partial}{\partial y}e^{z}=e^{z} z_y pela regra da cadeia; x será tratado como constante neste processo.

Passo 6

Diferenciação da equação em relação a y (detalhando cada termo):
Lado esquerdo:
\frac{\partial}{\partial y}\big(e^{z}\big)=e^{z}\,z_y.
Lado direito, termo a termo (com x constante):
  1. \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\big(x y^{2}\big)=x\cdot 2y = 2 x y.
  2. \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\big(2 y^{2} z\big). Aqui é produto entre 2y^{2} e z:
  • derivada de 2y^{2} é 4y, multiplicada por z 4y z.
  • mais 2y^{2}\cdot z_y.
    Portanto o total é 4y z + 2 y^{2} z_y.
  1. \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\big(3 z^{2} x\big). Como x é constante, é x vezes a derivada de 3 z^{2}:
\frac{\partial}{\partial y}\big(3 z^{2} x\big)=x\cdot 6 z\,z_y = 6 x z\, z_y.
  1. \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\big(7 x y z\big). Trate como 7x (constante) vezes y z. Derivada de y z em relação a y é 1\cdot z + y\cdot z_y. Multiplicando por 7x obtemos
7 x z + 7 x y\, z_y.
Somando tudo, o lado direito após derivar em y é
2 x y + (4y z + 2 y^{2} z_y) + (6 x z\, z_y) + (7 x z + 7 x y\, z_y).

Passo 7

Agrupando termos em z_y e isolando z_y:
Escrevendo a igualdade:
e^{z}\,z_y = 2 x y + 4y z + 2 y^{2} z_y + 6 x z\, z_y + 7 x z + 7 x y\, z_y.
Agrupando os termos que contêm z_y:
e^{z}\,z_y = \big(2 y^{2} + 6 x z + 7 x y\big) z_y + \big(2 x y + 4y z + 7 x z\big).
Passando o coeficiente de z_y para a esquerda:
\big(e^{z} - 2 y^{2} - 6 x z - 7 x y\big) z_y = 2 x y + 4y z + 7 x z.
Assim isolamos z_y:
\frac{\partial z}{\partial y}=z_y=\frac{2 x y + 4y z + 7 x z}{e^{z} - 2 y^{2} - 6 x z - 7 x y}.

Resposta

\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{y^{2} + 3 z^{2} + 7y z}{e^{z} - 2 y^{2} - 6 x z - 7 x y}
\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{2 x y + 4y z + 7 x z}{e^{z} - 2 y^{2} - 6 x z - 7 x y}

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