Use a derivação implícita para encontrar
e
.
.
Passo 1
O que o problema pede: encontrar as derivadas parciais
e
quando
é definida implicitamente pela equação
Informações dadas importantes:
onde
depende de
e
. Não há mais dados numéricos; devemos usar diferenciação implícita (derivar a equação em relação a
e a
, tratando
como função de
).
Passo 2
Conceitos que vamos usar (breve aula):
- Notação: escrevo
e . - Regra da cadeia (para funções compostas): se
e , então . Aqui, porque . - Regra do produto: se
e , .
Vou aplicar essas regras termo a termo na equação, diferenciando primeiro em relação a(com tratado como constante) e depois em relação a (com constante).
Passo 3
Diferenciação da equação em relação a
(passo a passo):
Derivando o lado esquerdo:
Derivando o lado esquerdo:
Agora cada termo do lado direito, lembrando que
é constante aqui.
-
porque é constante e a derivada de é . -
(produto de constante por ). -
. Aqui aplicamos a regra do produto a e :
-
. -
.
Logo
-
. Trate como produto com constante: use a regra do produto entre e :
- derivada de
em relação a é .
Multiplicando por(constante) obtém-se
Agora somamos todas as derivadas do lado direito:
Passo 4
Agrupando termos em
e isolando
:
Colocando tudo junto, da diferenciação obtemos
Colocando tudo junto, da diferenciação obtemos
Reagrupando os termos que contêm
no lado direito:
Passando o termo com
para o lado esquerdo:
Finalmente isolamos
:
Passo 5
Agora vamos derivar em relação a
. Relembrando as regras:
pela regra da cadeia;
será tratado como constante neste processo.
Passo 6
Diferenciação da equação em relação a
(detalhando cada termo):
Lado esquerdo:
Lado direito, termo a termo (com
constante):
-
-
. Aqui é produto entre e :
- derivada de
é , multiplicada por dá . - mais
.
Portanto o total é.
-
. Como é constante, é vezes a derivada de :
-
. Trate como (constante) vezes . Derivada de em relação a é . Multiplicando por obtemos
Somando tudo, o lado direito após derivar em
é
Passo 7
Agrupando termos em
e isolando
:
Escrevendo a igualdade:
Escrevendo a igualdade:
Agrupando os termos que contêm
:
Passando o coeficiente de
para a esquerda:
Assim isolamos
: