Use a derivação implícita para encontrar
e
.
.
Passo 1
O enunciado pede que eu encontre as derivadas parciais
e
da função implícita dada por
Informações relevantes que o enunciado dá:
- A equação relaciona as três variáveis
, e . - Presume-se que
é uma função implícita de e , ou seja, . - Devemos calcular as derivadas parciais
(derivando mantendo constante) e (derivando mantendo constante).
Passo 2
Conceitos e regras que vou usar (explicação didática):
- Notação: vou escrever
para e para . - Quando eu derivo em relação a
mantendo constante, trato como constante e como função de (ou seja, aparecendo quando derivamos expressões que dependem de ). - Regras necessárias:
- Regra do produto:
, onde cada subíndice indica a derivada parcial apropriada. - Regra da cadeia: se temos
, então .
- Regra do produto:
- Aplicação concreta: para
, (mesmo raciocínio vale para derivar em relação a , trocando por ).
Passo 3
Derivando a equação em relação a
(mantendo
constante) — passo a passo:
A equação é
A equação é
Derivo termo a termo:
-
Para
: é constante, então uso produto entre e : (primeiro derivedando 1 e fica ; depois mantenha e derive dando .) -
Para
: já mostrei a regra da cadeia: -
Para o lado direito
:
Agora junte tudo:
Agrupo os termos com
à esquerda e os restantes à direita:
Coloco
em evidência:
Posso factorar
em
, obtendo:
Isolando
:
Para uma forma sem fração dentro do denominador, multiplico numerador e denominador por
:
Ambas as formas são equivalentes; a segunda evita a presença de
no denominador.
Passo 4
Derivando a equação em relação a
(mantendo
constante) — passo a passo:
Parto da mesma equação
Parto da mesma equação
Derivo termo a termo em relação a
:
-
Para
: agora é constante, então (derivandodá ; derivando dá .) -
Para
: -
Para o lado direito
:
Agora monto a equação das derivadas:
Agrupo os termos com
à esquerda e os demais à direita:
Coloco
em evidência:
Novamente
, então
Isolando
:
Posso simplificar o numerador escrevendo
, então
Multiplicando numerador e denominador por
para ficar sem fração interna:
Passo 5
Resumo e dica prática:
- As duas derivadas aparecem com o mesmo fator no denominador
; por isso é comum multiplicar por para obter denominador . - Na hora da prova: diferencie termo a termo, trate a variável não diferenciada como constante, aplique produto e cadeia com calma, e agrupe os termos com
(ou ) para isolar.