Use a derivação implícita para encontrar frac{\partial z}{\partial x} e frac{\partial z}{\partial y}.
y x z+\ln \left(z^{2}\right)=y z-2 y x.

Passo 1

O enunciado pede que eu encontre as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} e \dfrac{\partial z}{\partial y} da função implícita dada por
y x z+\ln\left(z^{2}\right)=y z-2 y x.
Informações relevantes que o enunciado dá:
  1. A equação relaciona as três variáveis x, y e z.
  2. Presume-se que z é uma função implícita de x e y, ou seja, z=z(x,y).
  3. Devemos calcular as derivadas parciais \dfrac{\partial z}{\partial x} (derivando mantendo y constante) e \dfrac{\partial z}{\partial y} (derivando mantendo x constante).

Passo 2

Conceitos e regras que vou usar (explicação didática):
  • Notação: vou escrever z_x para \dfrac{\partial z}{\partial x} e z_y para \dfrac{\partial z}{\partial y}.
  • Quando eu derivo em relação a x mantendo y constante, trato y como constante e z como função de x (ou seja, aparecendo z_x quando derivamos expressões que dependem de z).
  • Regras necessárias:
    • Regra do produto: \dfrac{\partial}{\partial x}(u\cdot v)=u_x\cdot v+u\cdot v_x, onde cada subíndice indica a derivada parcial apropriada.
    • Regra da cadeia: se temos \ln\big(h(z)\big), então \dfrac{\partial}{\partial x}\ln(h(z))=\dfrac{h'(z)}{h(z)}\cdot z_x.
  • Aplicação concreta: para \ln(z^2), \dfrac{\partial}{\partial x}\ln(z^2)=\frac{1}{z^2}\cdot \frac{\partial}{\partial x}(z^2)=\frac{1}{z^2}\cdot 2z z_x=\frac{2z_x}{z}.(mesmo raciocínio vale para derivar em relação a y, trocando z_x por z_y).

Passo 3

Derivando a equação em relação a x (mantendo y constante) — passo a passo:
A equação é
x y z + \ln(z^2) = y z - 2 y x.
Derivo termo a termo:
  • Para x y z: y é constante, então uso produto entre x e y z:
    \dfrac{\partial}{\partial x}(x y z)=y z + x y z_x.
    (primeiro derive x dando 1 e fica y z; depois mantenha x e derive z dando x y z_x.)
  • Para \ln(z^2): já mostrei a regra da cadeia:
    \dfrac{\partial}{\partial x}\ln(z^2)=\frac{2 z_x}{z}.
  • Para o lado direito y z - 2 y x:
    \dfrac{\partial}{\partial x}(y z)=y z_x,\qquad \dfrac{\partial}{\partial x}(-2 y x)=-2y.
Agora junte tudo:
y z + x y z_x + \frac{2 z_x}{z} = y z_x - 2y.
Agrupo os termos com z_x à esquerda e os restantes à direita:
x y z_x + \frac{2 z_x}{z} - y z_x = -2y - y z.
Coloco z_x em evidência:
z_x\!\left(x y - y + \frac{2}{z}\right) = -y(2+z).
Posso factorar y em x y - y = y(x-1), obtendo:
z_x\!\left(y(x-1) + \frac{2}{z}\right) = -y(2+z).
Isolando z_x:
z_x = \frac{-y(2+z)}{\,y(x-1) + \dfrac{2}{z}\, }.
Para uma forma sem fração dentro do denominador, multiplico numerador e denominador por z:
z_x = \frac{-y z(2+z)}{\,y z(x-1) + 2\, }.
Ambas as formas são equivalentes; a segunda evita a presença de \dfrac{1}{z} no denominador.

Passo 4

Derivando a equação em relação a y (mantendo x constante) — passo a passo:
Parto da mesma equação
x y z + \ln(z^2) = y z - 2 y x.
Derivo termo a termo em relação a y:
  • Para x y z: agora x é constante, então
    \dfrac{\partial}{\partial y}(x y z)=x z + x y z_y.
    (derivando y x z; derivando z x y z_y.)
  • Para \ln(z^2):
    \dfrac{\partial}{\partial y}\ln(z^2)=\frac{2 z_y}{z}.
  • Para o lado direito y z - 2 y x:
    \dfrac{\partial}{\partial y}(y z)=z + y z_y,\qquad \dfrac{\partial}{\partial y}(-2 y x)=-2x.
Agora monto a equação das derivadas:
x z + x y z_y + \frac{2 z_y}{z} = z + y z_y - 2x.
Agrupo os termos com z_y à esquerda e os demais à direita:
x y z_y + \frac{2 z_y}{z} - y z_y = z - 2x - x z.
Coloco z_y em evidência:
z_y\!\left(x y - y + \frac{2}{z}\right) = z - 2x - x z.
Novamente x y - y = y(x-1), então
z_y\!\left(y(x-1) + \frac{2}{z}\right) = z - 2x - x z.
Isolando z_y:
z_y = \frac{\,z - 2x - x z\,}{\,y(x-1) + \dfrac{2}{z}\, }.
Posso simplificar o numerador escrevendo z - x z - 2x = -\big((x-1)z + 2x\big), então
z_y = \frac{-\big((x-1)z + 2x\big)}{\,y(x-1) + \dfrac{2}{z}\, }.
Multiplicando numerador e denominador por z para ficar sem fração interna:
z_y = \frac{-z\big((x-1)z + 2x\big)}{\,y z(x-1) + 2\, }.

Passo 5

Resumo e dica prática:
  • As duas derivadas aparecem com o mesmo fator no denominador y(x-1)+\dfrac{2}{z}; por isso é comum multiplicar por z para obter denominador y z(x-1)+2.
  • Na hora da prova: diferencie termo a termo, trate a variável não diferenciada como constante, aplique produto e cadeia com calma, e agrupe os termos com z_x (ou z_y) para isolar.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial z}{\partial x} = \frac{-y(2+z)}{\,y(x-1) + \dfrac{2}{z}\, } = \frac{-y z(2+z)}{\,y z(x-1) + 2\, }\n \displaystyle \frac{\partial z}{\partial y} = \frac{\,z - 2x - x z\,}{\,y(x-1) + \dfrac{2}{z}\, } = \frac{-z\big((x-1)z + 2x\big)}{\,y z(x-1) + 2\, }

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