Ache o gradiente de f(x, y)=7 x y^2-7 x^2 y^3 no ponto (1,0). Use o gradiente neste pontopara encontrar a taxa de variação de f na direção do vetor u=(1raiz2, 1raiz2).

Passo 1

A questão pede para encontrar o gradiente de f(x,y)=7xy^2-7x^2y^3 no ponto (1,0) e, em seguida, usar esse gradiente para determinar a taxa de variação direcional na direção de vec u=(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2). Vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente e depois a definição de derivada direcional como produto escalar.

Passo 2

O gradiente de f é o vetor das derivadas parciais: nabla f=(fx,fy). Calculando cada componente temos as seguintes fórmulas: fx=partialpartial x(7xy^2-7x^2y^3)=7y^2-14xy^3, fy=partialpartial y(7xy^2-7x^2y^3)=14xy-21x^2y^2

Passo 3

Agora avaliamos essas derivadas no ponto (1,0). Substituindo x=1 e y=0 em fx e fy obtemos: fx(1,0)=7cdot0^2-14cdot1cdot0^3=0 e fy(1,0)=14cdot1cdot0-21cdot1^2cdot0^2=0. Logo, nabla f(1,0)=(0,0).

Passo 4

Para a taxa de variação direcional, usamos Dvec uf(1,0)=nabla f(1,0)cdotvec u Como nabla f(1,0)=(0,0), o produto escalar com qualquer vetor unitário dá zero. Portanto, a taxa de variação na direção de vec u é 0.

Resposta

Gradiente de f em (1,0): (0,0). Taxa de variação direcional na direção de vec u: 0.

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