Ache o gradiente de
no ponto
. Use o gradiente neste pontopara encontrar a taxa de variação de
na direção do vetor
.
Passo 1
A questão pede para encontrar o gradiente de
no ponto
e, em seguida, usar esse gradiente para determinar a taxa de variação direcional na direção de
. Vamos usar derivadas parciais para obter o gradiente e depois a definição de derivada direcional como produto escalar.
Passo 2
O gradiente de
é o vetor das derivadas parciais:
. Calculando cada componente temos as seguintes fórmulas:
Passo 3
Agora avaliamos essas derivadas no ponto
. Substituindo
e
em
e
obtemos:
e
. Logo,
.
Passo 4
Para a taxa de variação direcional, usamos
Como
, o produto escalar com qualquer vetor unitário dá zero. Portanto, a taxa de variação na direção de
é 0.
Resposta
Gradiente de f em (1,0): (0,0). Taxa de variação direcional na direção de
: 0.