Sabendo que y1(x)=x e y2=x ln (x) são solucōes linearmente independentes da EDO x^2 y^prime prime-x y^prime+y=0 para x>0, resolve a seguinte EDO:
x^2 y^prime prime-x y^prime+y=2 x x>0

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
x^2 y^prime prime - x y^prime + y = 2x para x > 0
Sabemos que as soluções da equação homogênea associada são e . Hoje, vamos usar essas soluções para encontrar a solução geral da equação não homogênea. Vamos precisar conhecer o conceito de superposição de soluções e como encontrar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a solução geral da equação homogênea. Como temos duas soluções lineares independentes, combinamos elas da seguinte forma:
yh(x) = C1 y1(x) + C2 y2(x) = C1x + C2x ln(x),
onde e são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma solução particular ( x^2 y^prime prime - x y^prime + y = 2x ) da equação completa:
yp(x) = A x ln^2(x),
Como o lado direito é , que já é uma das soluções da homogênea ( ), tentamos multiplicar por para garantir a independência das soluções. Então, vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de yp'(x) = A ( ln^2(x) cdot 1 + 2 ln(x) cdot 1x cdot x ) = A ( ln^2(x) + 2 ln(x) ), :
yp''(x) = A ( 2 ln(x) cdot 1x + 2x ) = A ( 2 ln(x) + 2x )
x^2 cdot ( 2A ln(x) + 2Ax ) - x cdot ( A ln^2(x) + 2A ln(x) ) + A x ln^2(x) = 2x
Agora, substituímos 2A x ln(x) + 2A x - A x ln^2(x) - 2A x ln(x) + A x ln^2(x) = 2x , 2A x = 2x Rightarrow A = 1 e yp(x) = x ln^2(x) na equação original:
Simplificando os termos:
Tudo se cancela, restando:
Então, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1x + C2x ln(x) + x ln^2(x),
onde e são constantes arbitrárias.

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