Sabendo que
e
são solucōes linearmente independentes da EDO
para
, resolve a seguinte EDO:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial:
Sabemos que as soluções da equação homogênea associada
são
e
. Hoje, vamos usar essas soluções para encontrar a solução geral da equação não homogênea. Vamos precisar conhecer o conceito de superposição de soluções e como encontrar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a solução geral da equação homogênea. Como temos duas soluções lineares independentes, combinamos elas da seguinte forma:
onde
e
são constantes que serão determinadas pelas condições iniciais (se houver).
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma solução particular (
) da equação completa:
Como o lado direito é
, que já é uma das soluções da homogênea (
), tentamos multiplicar por
para garantir a independência das soluções. Então, vamos supor que a solução particular tem a forma:
onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Simplificando os termos:
Tudo se cancela, restando:
Então, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.